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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Inde--Liban}}
\rfoot{\small  septembre 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Inde--Liban A1 et B septembre 1994~\decofourright 
}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une population est constituée de $100$~personnes ($40$~hommes et $60$~femmes), telles que :
 
$50$ ont les yeux bleus,
 
$60$\,\% des hommes ont les yeux bleus. 

On tire au sort une personne. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. 

Calculer, sous forme de fractions, les probabilités des évènements suivants : 

A : \og avoir choisi un homme \fg 

B : \og avoir choisi un homme aux yeux bleus \fg 

C : \og avoir choisi une femme aux yeux bleus \fg 

D : \og avoir choisi une personne aux yeux bleus, sachant que c'est une femme \fg 

E : \og avoir choisi une femme, sachant que c'est une personne ayant les yeux bleus \fg. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 6 points}

\medskip
 
Un pion se déplace par sauts successifs sur la droite $\Delta$ munie du 
repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,1)
\psline(0,0.5)(10,0.5)
\psline(5,0.7)(5,0.3)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,0.5)(6,0.5)
\uput[ul](5,0.5){O}\uput[u](5.5,0.5){$\vect{\imath}$}
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{Son point de départ est le point O}. 

Deux types de sauts sont possibles :
 
D : 2 unités vers la droite,
 
G : 1 unité vers la gauche.
 
Les sauts successifs sont supposés indépendants les uns des autres, et chaque type de saut a la même probabilité d'être effectué.
 
On suppose que le pion va effectuer 3 sauts successifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la liste des différents parcours possibles. On pourra, éventuellement, dessiner \og l'arbre des parcours \fg, et désigner chaque parcours à l'aide d'un triplet, par exemple : (D, D, G) signifie que le pion s'est déplacé d'abord deux fois vers la droite, puis une fois vers la gauche. 
\item Pour chaque parcours trouvé, préciser l'abscisse du point occupé par le pion après les 3 sauts. 
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe l'abscisse du point où aboutit le pion. Donner la loi de probabilité de $X$, et son espérance mathématique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
Le but de ce problème est l'étude de la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ 
par : 
		 
\[f(x) = \dfrac{(x - 1)\ln x}{x},\] 

sa représentation graphique et le calcul d'une aire qui lui est liée.
 
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). 

La courbe représentative de $f$ dans P est notée $\mathcal{C}$.

\medskip
 
\textbf{Étude de } \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $0$.
		 
Quelle en est la conséquence graphique  ? 
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ 

Montrer que : $f'(x) = \dfrac{x - 1 + \ln x}{x^2}$. 
\item Déterminer le signe de la somme : $(x - 1) + \ln x$, lorsque $0 < x < 1$, puis lorsque $x > 1$. 
\item En déduire le tableau de variation de $f$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Courbe représentative de }\boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, selon les valeurs de $x$, le signe de la différence  $d(x) =f(x) - \ln x$.
\item Soit $\Gamma$ la courbe représentative, dans P, de la fonction ln. Interpréter géométriquement le nombre $d(x)$, et déduire, de la question précédente, la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. 
\item Tracer $\Gamma$, puis $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer la partie du plan limitée par les droites d'équations $x = 1, x = \text{e}$, et les deux courbes précédentes. 
\item Déterminer une primitive de la fonction définie par $g(x) = (\ln x) x$. 
\item En déduire l'aire, en cm$^2$, de la partie hachurée. 
\end{enumerate}
\end{document}