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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\lhead{\small Bac L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{Japon}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat L Japon juin 2003 \decofourright}} 

Le candidat traitera obligatoirement TROIS exercices

OBLIGATOIREMENT : l'exercice 1  \textbf{et} l'exercice 2

AU CHOIX : l'exerccie 3 \textbf{ou} l'exercice 4 \end{center}

\noindent L'usage de la calculatrice est autoris\'e pour cette \'epreuve.

\noindent L'attention des candidats est attir\'ee sur le fait que la qualit\'e de la r\'edaction, 
la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements entrent pour une part importante dans 
l'appr\'eciation des copies.

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1 obligatoire} \hfill 8 points}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie A :} On consid\`ere les fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur l'intervalle 
[1 ; 25]  par :

\[f(x) =5x-50 \qquad \text{et}\qquad g(x)= \cfrac{\text{e}^x}{100}.\]

\noindent \textbf{\gray I.}

\begin{enumerate} \item Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ; 25].

\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer la d\'eriv\'ee $g'(x)$.

\item \'Etudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [1 ; 25].

\end{enumerate}

\item Tracer les courbes repr\'esentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un rep\`ere
 orthogonal. On prendra pour unit\'e graphique :

- 2 cm pour 5 unit\'es en abscisse

- 1 cm pour 20 unit\'es en ordonn\'ee.

\noindent Pour la courbe repr\'esentative de la fonction $g$, on se limitera \`a repr\'esenter les
 points dont l'abscisse est comprise entre 1 et 10.
 
 \end{enumerate}

\noindent \textbf{\gray II.} On consid\`ere la fonction $h$ d\'efinie sur l'intervalle [1 ; 25] par 

\[h(x) = 30\ln x - 2 x + 10.\]

\noindent  On note $h'$ la d\'eriv\'ee de $h$.
	
\begin{enumerate} \item Montrer que $h'(x) = \cfrac{30 - 2x}{x}$.

\item \'Etudier le sens de variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [1 ; 25]. 

\item Montrer que la fonction $h$ passe par un maximum. On donnera la valeur pour 
laquelle ce maximum est atteint et la valeur prise alors par la fonction. 

\item Tracer la courbe repr\'esentative de la fonction $h$ dans le m\^eme rep\`ere qu'\`a la
 question \textbf{I}.
 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie B :} Les gains exprim\'es en milliers d'euros de trois chanteurs sont fonction
 du nombre $x$ de semaines \'ecoul\'ees depuis la sortie simultan\'ee de leurs albums et 
sont donn\'es par $f(x),~ g(x)$ et $h(x)$. 

\begin{enumerate} \item Dans cette question, aucune justification n'est demand\'ee. Il s'agit seulement 
d'interpr\'eter les donn\'ees. 

\begin{enumerate} \item Quelle fonction correspond au gain du chanteur A sur lequel les producteurs ont
 investi pr\`es de 100 milliers d'euros et dont le succ\`es est ph\'enom\'enal apr\`es 
quelques semaines de promotion acharn\'ee ? 

\item Quelle fonction correspond au gain du chanteur B, inconnu, qui obtient un succ\`es
 tr\`es rapide malgr\'e l'absence d'investissement promotionnel avant de s'essouffler
 au bout de quinze semaines ?

\item En vous inspirant des questions du \textbf{1.} et \textbf{2.}, d\'ecrire l'\'evolution
 du gain du chanteur C.
 
 \end{enumerate}

\item Par lecture graphique :

\begin{enumerate} \item D\'eterminer le nombre de semaines qui s'\'ecoule avant que le chanteur C gagne plus que le chanteur B. 

\item D\'eterminer le nombre de semaines qui s'\'ecoule avant que le chanteur A gagne plus
 que le chanteur B.
 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2 obligatoire} \hfill 7 points}

L'unit\'e est le centim\`etre.

\noindent On consid\`ere un triangle A$_0$B$_0$C$_0$ rectangle isoc\`ele en A$_0$ tel que : A$_0$B$_0$ = A$_0$C$_0$ = 20.

\begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on compl\`etera au fur et \`a mesure de l'exercice.

\item Soit A$_1$ le milieu du segment [B$_0$C$_0$], B$_1$ le milieu du segment 
[A$_0$C$_0$] et C$_1$ le milieu du segment [A$_0$B$_0$].

\begin{enumerate} \item Tracer le triangle A$_1$B$_1$C$_1$.

\item Montrer que le triangle A$_1$B$_1$C$_1$ est un triangle rectangle isoc\`ele en A$_1$.

\item Calculer l'aire de A$_1$B$_1$C$_1$ not\'ee $u_1$ et l'aire de A$_0$B$_0$C$_0$ not\'ee 
$u_0$.

\item Exprimer $u_1$ en fonction de $u_0$.

\end{enumerate}

\item Soit A$_2$ le milieu du segment [B$_1$C$_1$], B$_2$ le milieu du segment 
[A$_1$C$_1$] et C$_2$ le milieu [A$_1$B$_1$].

\begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle A$_2$B$_2$C$_2$ not\'ee $u_2$.

\item Exprimer $u_2$ en fonction du $u_0$.

\end{enumerate}

\item En r\'eit\'erant cette construction, on d\'efinit un triangle A$_n$B$_n$C$_n$ rectangle
 isoc\`ele en A$_n$. On note $u_n$, l'aire de ce triangle.

\begin{enumerate} \item Exprimer $u_n$, en fonction de $u_{n-1}$  et montrer que pour tout entier naturel
 $n$, on a :
 
\[u_n = \left(\cfrac{1}{4}\right)^n \times 200.\]

\item D\'eterminer le plus petit entier $p$ tel que $u_p < 10^{-3}$.

\item Exprimer en fonction de $n$ la somme $u_0 + u_1 +  \cdots + u_n$. En d\'eduire la
 limite de cette somme quand $n$ tend vers $+ \infty$.
 
 \end{enumerate}

\end{enumerate}

\noindent \textbf{Rappel :}

\[\begin{array}{c |c} 
\text{Suites arithm\'etiques de premier terme}  &
\text{Suites g\'eom\'etriques de premier terme} \\ 
u_0~\text{et de raison}~ a: & u_0~\text{et de raison}~ b :\\
 u_{n+1} = u_n + a ~; &	u_{n+1} =bu_n \quad ; \quad u_n =u_0 b^n\\
1+2+ \cdots +n= \cfrac{n(n+1)}{2} & \text{Si}~1+b+b^2+\cdots + b^n = 
\cfrac{1 - b^{n+1}}{1 - b}\\
&\text{Si} ~b = 1~	1+b+b^2+\cdots + b^n	=n+1\\
\end{array}\]



\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice  3 au choix} \hfill 5 points}

Dans cet exercice on \'etudie la divisibilit\'e par 11 en exploitant la congruence
 modulo 11 des puissances de 10.

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item V\'erifier que $100 \equiv 1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$. En d\'eduire que
 $10^4 \equiv  1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$.

\item V\'erifier que $10 \equiv - 1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$.

En d\'eduire que $10^3 \equiv - 1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$ et que 
$10^5 \equiv - 1 \quad (\text{modulo} \quad 11)$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item En utilisant l'\'egalit\'e $3\:729 = 37 \times 100 + 29$ et les r\'esultats 
pr\'ec\'edents, montrer que $3\:729$ est divisible par $11$.

\item En utilisant la m\'ethode pr\'ec\'edente, \'etudier la divisibilit\'e de 
$9\:240$ par $11$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item En utilisant l'\'egalit\'e $3\:729 = 3 \times 10^3 + 7 \times 10^2 + 2 
\times 10 + 9$ et les r\'esultats pr\'ec\'edents, montrer que $3\:729$ est divisible 
par $11$.

\item En utilisant cette m\'ethode, \'etudier la divisibilit\'e de $9\:240$ par $11$.

\end{enumerate}

\item \'Etudier la divisibilit\'e de $197\:277$ par $11$.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4 au choix} \hfill 5 points}

Les constructions demand\'ees sont \`a faire sur la FEUILLE ANNEXE \`A RENDRE AVEC LA COPIE.

\begin{enumerate} \item Compl\'eter sur la figure 1 de la feuille annexe, la repr\'esentation en 
perspective cavali\`ere de rapport $\cfrac{1}{2}$ d'angle
de fuite $30 \textsuperscript{o}$ d'un cube ABCDEFGH dont on a donn\'e le plan frontal ABFE. 

\item Compl\'eter sur la figure 2 de la feuille annexe, la repr\'esentation en perspective
 \`a point de fuite d'un cube ABCDEFGH dont on a donn\'e le plan frontal ABFE, 
le point C et le point de fuite O. 

\item Citer une propri\'et\'e de la repr\'esentation en perspective cavali\`ere qui ne soit pas
 v\'erifi\'ee en perspective \`a point de fuite. 

\item Compl\'eter sur la figure 3 de la feuille annexe, la repr\'esentation en perspective
 \`a point de fuite d'un carrelage r\'egulier de quatre rang\'ees de six carreaux.
 
\end{enumerate} 
 
 \newpage
 
 \begin{center} \textbf{\gray ANNEXE  \`A RENDRE AVEC LA COPIE (si l'exercice 
 4 est choisi)}\end{center}
 
 \noindent \textbf{Figure 1}
 
\vspace{2cm}
\begin{pspicture}(2,2)
     \psframe(2,2)
     \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} 
     \uput[ur](2,2){F} \uput[ul](0,2){E}
     \end{pspicture}
\vspace{1cm}
     
\noindent \textbf{Figure 2}
 
\begin{pspicture}(5,4)
     \psframe(2,2)
     \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} 
     \uput[ur](2,2){F} \uput[ul](0,2){E}
     \qdisk(3.4,1.885){1pt} \uput[dr](3.4,1.885){C}
     \qdisk(4.6,3.5){1pt} \uput[dr](4.6,3.5){O}
\end{pspicture}
     
          \vspace{1cm}
     
\noindent \textbf{Figure 3} 
 
\noindent \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(15,11)
\pspolygon(0,0)(1.6,2.7)(3.9,2.7)(2.7,0)
\psline(0,0)(16.2,0)
\psline(5.4,0)(5.4,0.1) \psline(8.1,0)(8.1,0.1) 
\psline(10.8,0)(10.8,0.1)  \psline(13.5,0)(13.5,0.1)
\psline(16.2,0)(16.2,0.1) 
\end{pspicture}     
 
\end{document}