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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L (spécialité) Antilles-Guyane~\decofourright\\ 19 juin 2012}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le dessin ci-dessous représente en perspective un élément de  la bordure d'une chaussée.

La partie piétonne $ABCD$, en partie revêtue de goudron, est un carré de centre $O$.

Le rectangle $AEFB$ représente un mur.

La partie $AB'OD'$, elle aussi  carrée, est non revêtue car destinée à recevoir des plantations.

Le segment $[CL]$ représente un lampadaire.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-2)(8,10)
\pspolygon[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](-1,1)(2,1)(4,-1)(1,-1)
\pspolygon[fillcolor=black,fillstyle=solid](-3,3)(-3,4.5)(1,0.5)(1,-1)
\psline(1,-1)(-3,3)
\psline(-3,3)(3,3)
\psline(3,3)(7,-1)
\psline(7,-1)(1,-1)
\psline(-1,1)(2,1)
\psline(2,1)(4,-1)
\psline(4,-1)(1,-1)
\psline(1,-1)(-1,1)
\psline(-3,3)(-3,4.5)
\psline(-3,4.5)(1,0.5)
\psline(1,0.5)(1,-1)
\psline(1,-1)(-3,3)
\psline(3,3)(3,8)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](1,-1)
\rput[bl](0.62,-1.55){$A$}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](-3,3)
\rput[bl](-3.28,2.54){$B$}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](3,3)
\rput[bl](3.1,3.05){$C$}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](7,-1)
\rput[bl](7.17,-1.55){$D$}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](2,1)
\rput[bl](2.09,1.05){$O$}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](4,-1)
\rput[bl](4.13,-1.48){$D'$}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](-1,1)
\rput[bl](-1.38,0.55){$B'$}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](1,0.5)
\rput[bl](1.1,0.55){$E$}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](-3,4.5)
\rput[bl](-3.21,4.69){$F$}
\psdots[dotsize=0pt 0,dotstyle=*](3,8)
\rput[bl](3.1,8.06){$L$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

Les deux figures données en annexe sont à compléter et  à rendre avec la copie. On veillera à laisser apparents les traits de construction.

\begin{enumerate}
\item
Compléter la représentation en perspective parallèle donnée dans la \textbf{figure 1} par l'ombre du mur portée sur le plan horizontal du sol; la source lumineuse en $L$ est supposée ponctuelle.\\
Pour plus de lisibilité, la représentation de cette ombre sera colorée.
\item Dans la \textbf{figure 2}, les points $a$, $b'$, $o$, $d'$ et $e$ représentent, en perspective centrale, les points $A$, $B'$, $O$, $D'$ et $E$. On a aussi représenté la ligne d'horizon ainsi que $\Omega$, le point de fuite principal. Les points $A$, $B$, $B'$, $C$, $D$, $D'$ et $O$ sont dans un plan horizontal et le mur est vertical.

\smallskip

La jardinière carrée est représentée par $ab'od'$.
	\begin{enumerate}
		\item Comment vérifier que, sur la \textbf{figure 2}, $ab'od'$ représente un quadrilatère ayant les côtés parallèles deux à deux~?
		\item Les droites $(B'O)$ et $(BC)$ sont parallèles. Comment cela se traduit-il dans cette représentation en perspective centrale~?
		\item Terminer le dessin en représentant la partie $ABCD$ qui entoure $AB'OD'$ ainsi que le mur $AEFB$ qui borde la partie piétonne (on ne représentera pas le lampadaire).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le séjour de vacances peut se décliner selon deux formules :

\begin{itemize}
\item une formule \og tourisme \fg{};
\item une formule \og aventure \fg{}.
\end{itemize}

Les deux formules ne peuvent être combinées, 60\,\% des clients du séjour ont choisi la formule \og tourisme \fg{} et 40\,\% ont choisi la formule \og aventure \fg.

\smallskip

Une enquête de satisfaction conduite auprès des clients concernés montre que 70\,\% des clients de la formule \og tourisme \fg{} ont exprimé être satisfaits et, parmi les clients de la formule \og aventure \fg, ils sont 90\,\% à exprimer être satisfaits.

\smallskip

L'agence procède à un tirage au sort pour offrir un cadeau à l'un des clients de ce séjour.

\smallskip

On considère les évènements suivants:

\begin{description}
\item[$T$:] le tirage au sort a désigné un client de la formule \og tourisme \fg{};
\item[$A$:] le tirage au sort a désigné un client de la formule \og aventure \fg{};\item[$S$:] le tirage au sort a désigné un client qui a exprimé être satisfait;
\item[$\overline{S}$:] le tirage au sort a désigné un client qui n'a pas exprimé être satisfait;
\end{description}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités associé à cette expérience.
\item Préciser les valeurs de $P_T(S)$ et de $P_A\left(\overline{S}\right)$.
\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap\overline{S}$. Calculer $P\left(A\cap\overline{S}\right)$.
\item Montrer que la probabilité que le client désigné par le tirage au sort soit un client n'ayant pas exprimé être satisfait est \np{0,22}.
\item Calculer la probabilité que le tirage au sort ait désigné un client de la formule \og aventure \fg{} parmi les clients qui n'ont pas exprimé être satisfaits. Exprimer le résultat à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
Reproduire et compléter le tableau suivant en indiquant les restes de la division euclidienne de $7^n$ par $10$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$: &  1 &2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
reste&7&9& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$& $\cdots$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item Montrer que $7^{4n}\equiv 1~(\text{modulo }10)$ pour tout nombre entier naturel $n$.
		\item En déduire le chiffre des unités du nombre $7^{2013}$.
	\end{enumerate}
\smallskip

\emph{Dans la question 2, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\item Déterminer le chiffre des dizaines de $7^{2013}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par:

\[f(x) = \text{e}^{x - 1} + x - 1.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.

On a obtenu l'écran ci-dessous à l'aire d'un traceur de courbe.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(4,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(-1,-2)(4,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.0}{4.0}{EXP(x-1)+x-1}
\psline(-1,-2)(4,-2)(4,5)(-1,5)(-1,-2)
\uput[90](3.5,0){$x$}
\uput[0](0,4.5){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(2)$.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $f(4)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer $f'(x)$.
		\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On admet, comme il apparait sur la copie d'écran ci-dessus, que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un seul point d'abscisse $\alpha$.
	\begin{enumerate}
		\item Encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie ci-dessus:
\begin{center}
\begin{tabular}{|ll}
\textbf{entrée:} & $B$ est un nombre réel positif.\\
\textbf{traitement:} & \rnode{a}{\phantom{c}} Donner à $X$ la valeur 0\\
&\phantom{c} Donner à $Y$ la valeur $f(0)$\\
&\phantom{c} Tant que $Y<B$ faire:\\
&\phantom{cccccc}\rnode{c}{} Donner à $X$ la valeur $X+1$\\
&\rnode{b}{\phantom{c}}\phantom{ccccc}\rnode{d}{} Donner à $Y$ la valeur $f(X)$\\
\textbf{sortie:}&Afficher $X$\\
\end{tabular}
\ncline[nodesepA=-6pt,nodesepB=-5pt]{a}{b}
\ncline[nodesepA=-6pt,nodesepB=-1pt]{c}{d}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item
Appliquer cet algorithme pour $B=20$. Quel nombre est alors affiché en sortie~?
		\item Pour $B = \np{1000}$, cet algorithme affiche 8. Comment interpréter ce résultat~?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\large \textbf{ANNEXE\\ à compléter et à rendre avec la copie}
\end{center}
\fbox{\textbf{Figure 1}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-2)(8,10)
\pspolygon(-1,1)(2,1)(4,-1)(1,-1)
\pspolygon(-3,3)(-3,4.5)(1,0.5)(1,-1)
\psline(1,-1)(-3,3)
\psline(-3,3)(3,3)
\psline(3,3)(7,-1)
\psline(7,-1)(1,-1)
\psline(-1,1)(2,1)
\psline(2,1)(4,-1)
\psline(4,-1)(1,-1)
\psline(1,-1)(-1,1)
\psline(-3,3)(-3,4.5)
\psline(-3,4.5)(1,0.5)
\psline(1,0.5)(1,-1)
\psline(1,-1)(-3,3)
\psline(3,3)(3,8)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,-1)
\rput[bl](0.62,-1.55){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-3,3)
\rput[bl](-3.28,2.54){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,3)
\rput[bl](3.1,3.05){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7,-1)
\rput[bl](7.17,-1.55){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,1)
\rput[bl](2.09,1.05){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4,-1)
\rput[bl](4.13,-1.48){$D'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1,1)
\rput[bl](-1.38,0.55){$B'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,0.5)
\rput[bl](1.1,0.55){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-3,4.5)
\rput[bl](-3.21,4.69){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,8)
\rput[bl](3.1,8.06){$L$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}
\fbox{\textbf{Figure 2}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(17,9)
\psplot{-4}{17}{(--8-0*x)/1}
\psline(8.39,2.29)(7.19,1.05)(10,-1)(10.86,0.97)
\psline(10.86,0.97)(8.39,2.29)
\psline(10,-1)(10,0.5)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](5.6,8)
\uput[90](5.6,8){$\Omega$}
\psset{dotsize=0pt 0,dotstyle=*}
\psdots(10,-1)
\rput[bl](9.56,-1.14){$a$}
\psdots(8.39,2.29)
\rput[bl](8.74,2.24){$o$}
\psdots(7.19,1.05)
\rput[bl](7.14,0.56){$b'$}
\psdots(10.86,0.97)
\rput[bl](11.1,0.86){$d'$}
\psdots(10,0.5)
\rput[bl](10.08,0.54){$e$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}