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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalaurat L spécialité La Réunion juin 2005~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte.

\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,5$ point.}

\emph{L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est} $0$.

\bigskip

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
N$\up{o}$& 	Questions&	A&	B &	C\\ \hline
&$f$ est une fonction dérivable en $- 1$ telle que& & & \\
& $f(-1) = 3$ et $f'(-1) = - 2.$&&& \\
1&	Une équation de la tangente à la courbe&	$y = 2x+3$&	$y=3x+1$&	$y= -2x+1$\\
	& représentant $f$ au point d'abscisse $-1$ est & & & \\ \hline
2&$\ln 54 - 2\ln 3$ est égal à &	$\ln 9$ &	$\ln 3$ &	$\ln 6$\\ \hline
3&	Dire que deux évènements A et B sont&	$P(\text{A} \cap  \text{B}) =$&&$P(\text{A} \cap  \text{B}) =$\\
 &indépendants signifie que &  $P$(A) + $P$(B)& $P(\text{A} \cap  \text{B}) = 0$&$P$(A) $~\times~ P$(B)\\ \hline
&À une tombola, 100 billets sont mis en vente& & & \\
4&	parmi lesquels un billet sur deux est gagnant.&$\dfrac{1}{50}$ & $\dfrac{149}{198}$ & $\dfrac{4949}{4950}$\\
&Xavier achète 2 billets. La probabilité qu'il&&&\\			
&achète au moins 1 billet gagnant est  & & & \\ \hline
5 & A et B sont deux évènements tels que &	 & &\\
 & $P$(A)$\neq 0$. Alors $P(\text{A} \cap  \text{B}) =$&$P_{\text{A}}(\text{B}) \times P(\text{A})$&
$P_{\text{A}}(\text{B}) \times P(\text{B})$ &$P_{\text{B}}(\text{A}) \times P(\text{A})$\\ \hline
\end{tabularx}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

\medskip

Pierre et Jean collectionnent des cartes postales.

À ce jour Pierre en possède \np{5000} et Jean \np{3000}.

Pierre a remarqué que sa collection augmentait de $500$ chaque année, et Jean pense qu'il peut voir sa collection augmenter de 15\,\% annuellement.

Dans toute la suite de l'exercice, on désigne par $n$ un entier naturel non nul.

\begin{enumerate} 
\item On note $a_{n}$ le nombre de cartes postales que possédera Pierre dans $n$ années.
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que la suite $\left(a_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $a_{0} = \np{5000}$ et de raison 500.
		\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Représenter graphiquement cette suite pour $0 \leqslant   n \leqslant  10$. On prendra un repère orthogonal \Oij{} dans lequel 1 cm représente une année sur l'axe (O$x$) et 1 cm représente \np{1000} cartes postales sur l'axe (O$y$).
	\end{enumerate}
\item On note $b_{n}$ le nombre de cartes postales que possédera Jean dans $n$ années.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la suite $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $b_{0} = \np{3000}$ et préciser sa raison.
		\item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Représenter graphiquement cette suite pour $0 \leqslant   n \leqslant  10$  sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item À partir de quelle année, la collection de Jean est-elle plus importante que celle de Pierre ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  8 points}

\medskip

\textbf{Construction du nombre d'or}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On appelle nombre d'or le réel noté $\Phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Démontrer que ce nombre vérifie la relation (1)  :  $\Phi^2 = \Phi + 1$.
\item On appelle rectangle d'or, un rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur est égal au nombre $\Phi$.

On donne quatre points A, B, C et D tels que le rectangle ABCD soit un rectangle d'or. (voir figure ci-dessous).
 
On appelle respectivement E et F les point des segments [BC] et [AD] tels que le quadrilatère ABEF soit un carré.
  
On pose AB = $\ell$.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer la longueur AD en fonction de jet de $\ell$ et de $\Phi$.
		\item Montrer que $\dfrac{\text{EF}}{\text{FD}} = \dfrac{1}{\Phi - 1}$.
		\item En utilisant la relation (1), montrer que $\Phi (\Phi - 1) = 1$, puis que $\dfrac{1}{\Phi - 1}	= \Phi$.
		\item Que peut-on en déduire pour le rectangle grisé FDCE ?
\end{enumerate}
\item Soit K le milieu de [BE]. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer KF en fonction de $\ell$.
		\item Montrer que KC $= \left(\Phi - \dfrac{1}{2}\right) \times \ell$.
		\item En déduire que KF =  KC.
		\item En déduire une construction géométrique d'un segment dont la longueur est le nombre d'or $\Phi$
(faire une figure et expliquer les étapes de la construction).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center} \begin{pspicture}(6,3.5)
\psframe(0,0)(3.35,3.35)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.35,0)(5.35,3.35)
\uput[ul](0,3.35){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](5.35,0){C} 
\uput[ur](5.35,3.35){D} \uput[d](3.35,0){E} \uput[u](3.35,3.35){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 