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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat L }
\rfoot{\small{juin 2006}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité La Réunion juin 2006~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

\emph{Le but de cet exercice est de modéliser, par une suite numérique, les variations du stock d'une bibliothèque.}

L'inventaire de janvier 2006 indique un effectif de \np{8000}~ouvrages. Chaque année, 10\,\% des ouvrages sont égarés, tandis que 400 nouveaux ouvrages sont achetés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $p_{n}$ le nombre d'ouvrages en stock au début de l'année $2006+ n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la valeur de $p_{0}$.
		\item Calculer les valeurs prévisionnelles $p_{1}$ et $p_{2}$ de l'effectif du stock lors des inventaires de janvier 2007 et de janvier 2008.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le terme général de la suite $\left(p_{n}\right)$ vérifie la relation :

\[p_{n+1} = 0,9p_{n} + 400.\]

		\item En quelle année l'effectif du stock sera-t-il pour la première fois inférieur à \np{6000} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On considère l'ensemble $E$ défini par $E= \{-2,~-1,~ 0,~1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9\}$.

\begin{enumerate}
\item Préciser la signification de la phrase : \og Le nombre entier $A$ est congru à zéro modulo 12 \fg{}.
\item On admet que tout nombre entier est congru modulo $12$ à un élément de $E$ et un seul.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à quel élément de $E$ le nombre $10$ est congru modulo $12$.
		\item Déterminer à quel élément de $E$ le nombre $100$ est congru modulo $12$.
	\end{enumerate}
\item À tout entier $n$ on associe l'élément $u_{n}$ de $E$ tel que $10^n$ soit congru à $u_{n}$ modulo $12$.

Calculer $u_{3},\: u_{4},\:u_{5},\:u_{6},\: u_{7},\: u_{8}$ et $u_{9}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip

Une passerelle autoroutière a la forme d'un prisme droit ABCA$'$B$'$C$'$ dont la base est un triangle isocèle ABC de sommet principal A : sur la figure ci-dessous, elle est représentée en perspective cavalière. La longueur de cette passerelle est 40 mètres et on a AB = AC = 4 m.

\bigskip

\emph{Formulaire} : 	\emph{volume d'un prisme = aire de la base $\times$ hauteur.}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4.5)
\pspolygon(1.9,4.6)(0,2)(4,0)(5.9,2.6)%A'B'BA
\psline(5.9,2.6)(7.5,0)(4,0)%ACB
\psline[linestyle=dashed](1.9,4.6)(3.5,2)(7.5,0)%A'C'C
\psline[linestyle=dashed](3.5,2)(0,2)%C'B'
\uput[ur](5.9,2.6){A} \uput[dl](4,0){B} \uput[dr](7.5,0){C} 
\uput[ul](1.9,4.6){A$'$} \uput[dl](0,2){B$'$} \uput[ur](3.5,2){C$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{En ce qui concerne les questions} 1 \emph{et} 2 \emph{ci-dessous, on laissera apparentes sur la feuille annexe toutes les constructions. Aucune autre justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, on cherche à représenter le prisme par une vue en perspective à points de fuite pour laquelle le plan ABC est un plan frontal. Sur la feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie, on a placé les points A, B, C, C$'$ et la ligne d'horizon $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur la feuille annexe le point de fuite principal F.
		\item Compléter sur la feuille annexe la représentation en perspective à points de fuite du prisme ABCA$'$B$'$C$'$.
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu du segment [BB$'$] et J le milieu du segment [CC$'$]. Le segment [IJ] représente un joint de dilatation inséré dans le sol de la passerelle. Représenter le segment [IJ] sur la figure de la feuille annexe.
\item Soit H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. Soit $x$ la mesure de la longueur CH exprimée en mètres.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le nombre $x$ est inférieur ou égal à 4. La valeur 4 peut-elle être atteinte ?
		\item Déterminer le volume maximal que peut avoir le prisme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

\emph{L'objectif de cet exercice est d'étudier une fonction qui permet d'estimer la taille d'un enfant de moins de $6$ ans, en fonction de son âge.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,1~;~6] par :

\[f(x) =  70 + 5x + 9 \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant le résultat à l'unité la plus proche.

\vspace{0,2cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,1	&0,3	&0,5	&1		&2	&3	&4	&5		&6 \\ \hline
$f(x)$		&		&		&		&		&	&	&	&		& \\ \hline
\end{tabularx}
\vspace{0,2cm}
\item Étudier le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,1 ; 6].

\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal : 1~cm représente 0,5 unités sur l'axe des abscisses et 1~cm représente 10~unités sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ de la partie A permet d'estimer la taille, exprimée en cm, d'un enfant de moins de 6 ans, en fonction de son âge $x$, exprimé en années. Cette taille est donc donnée par $f(x) = 70 + 5x + 9\ln x.$

\begin{enumerate}
\item  Calculer une estimation de la taille d'un enfant de 2 ans et demi, arrondie au centimètre.
\item Retrouver le résultat de la question précédente par une construction graphique utilisant la courbe tracée dans la partie A.
\item Évaluer l'âge d'un enfant mesurant 1 m par une construction graphique utilisant la courbe tracée dans la partie A.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe - Exercice 3}

\vspace{1cm}

(à rendre avec la copie)

\vspace{1cm}

\begin{pspicture}(12,8)
\pspolygon(0,0)(3.5,0)(1.75,2.7)
\uput[ur](1.75,2.7){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](3.5,0){C}
\psline(0,6.6)(12,6.6)
\uput[u](0.5,6.6){$\Delta$}
\rput(6.4,2.7){$\times$} \uput[dr](6.4,2.7){C$'$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 