\documentclass[10pt]{article}
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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\lhead{\small  Bac L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{La R\'eunion}}
\rfoot{\small{ juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat L facultatif La R\'eunion 
juin 2003 \decofourright}} 
\end{center} 

\noindent Le candidat traitera obligatoirement  TROIS exercices

\noindent OBLIGATOIREMENT : l'exercice 1 \textbf{et} l'exercice 2

\noindent AU CHOIX : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4.

\noindent L'usage de la calculatrice est autoris\'e pour cette \'epreuve.

\noindent L'attention des candidats est attir\'ee sur le fait que la qualit\'e de la r\'edaction, 
la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements entrent pour une part importante dans 
l'appr\'eciation des copies.

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1 : obligatoire} \hfill 7 points}

On veut r\'ealiser, dans le patron ci-dessous une bo\^ite rectangulaire sans couvercle. Les
 longueurs sont exprim\'ees en cm.
 
 \vspace{0,5cm}

\begin{center} \begin{pspicture}(8,5)
\psframe(1,1)(7,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1)
 \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,4)(1,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7,0)(8,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7,4)(8,5)
\psline(1,5)(7,5) \psline(1,0)(7,0)
\psline(0,1)(0,4) \psline(8,1)(8,4) 
\psline{<->}(0,5.1)(8,5.1)
\psline{<->}(8.1,0)(8.1,5)
\psline{<->}(0,-0.1)(1,-0.1)  \psline{<->}(-0.1,0)(-0.1,1)
\uput[u](4,5){16 cm} \uput[r](8,2.5){10 cm}
\uput[d](0.5,0){$x$} \uput[l](0,0.5){$x$}
\end{pspicture} \end{center}  

\begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?

\item V\'erifier que le volume $V(x)$ de cette bo\^ite est \'egal \`a $4x^3 - 52x^2 + 160x$.

\item V\'erifier que $V'(x) = 4(x - 2)(3x - 20)$ ; \'etudier son signe sur l'intervalle [0 ; 5].

\item Construire le tableau de variations de la fonction $V$ sur l'intervalle [0 ; 5].

\item En d\'eduire la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal. Quel est alors 
ce volume ?

\end{enumerate}

\vspace{1 cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2  obligatoire} \hfill 7 points}

On consid\`ere une grille constitu\'ee de 6 lignes num\'erot\'ees de haut en bas de 
L$_1$ \`a L$_6$ et de 4 colonnes num\'erot\'ees de gauche \`a droite de C$_1$ \`a 
C$_4$.

\begin{center} \begin{tabular}{c | *{4}{c|}}
\multicolumn{1}{c}{}	& \multicolumn{1}{c}{~~C$_1$~~} & \multicolumn{1}{c}{~~C$_2$~~} & 
\multicolumn{1}{c}{~~C$_3$~~} & \multicolumn{1}{c}{~~C$_4$~~}\\ \cline{2-5}
L$_1$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_2$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_3$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_4$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_5$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
L$_6$~~ &  &  &  & \\ \cline{2-5}
\end{tabular} \end{center}

\noindent L'exp\'erience consiste \`a noircir au hasard six cases dans cette grille.

\begin{enumerate} \item D\'enombrer toutes les configurations possibles. 

\item On note A l'\'ev\`enement : \og les six cases noires sont dans une m\^eme colonne\fg{} 
et B l'\'ev\`enement \og il y a une case noire dans chacune des six lignes \fg{}.

Calculer la probabilit\'e de A sous forme d'une fraction irr\'eductible, puis celle de B \`a 
$10^{-4}$ pr\`es.

\item Soient les \'ev\`enements L et C :

L : \og il y a exactement deux cases noires dans la ligne L$_1$ \fg{}

C : \og il y a exactement cinq cases noires dans la colonne C$_1$ \fg{}.

\begin{enumerate} \item Repr\'esenter une configuration prouvant que L et C ne sont pas incompatibles.

\item Calculer sous forme de fraction irr\'eductible la probabilit\'e de l'\'ev\`enement 
not\'e L ~$\cap$~ C.

\item En d\'eduire que la probabilit\'e d'obtenir exactement deux cases noires dans la premi\`ere
 ligne, sachant qu'il yen a exactement cinq dans la premi\`ere colonne, est \'egale \`a
$\cfrac{5}{36}$.

(on rappelle que $p_{\text{C}}(\text{L}) = \cfrac{p(\text{L} \cap 
	\text{C})}{p(\text{C})}$.
	
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3 au choix}  \hfill 6 points}

Pierre op\`ere un placement dans sa banque en versant sur un compte 200 euros, chaque premier janvier \`a partir du 01/01/2003. La banque r\'emun\`ere ce compte au taux annuel 
 de $4\: \%$. On note $u_0$ le montant initial du compte, donc $u_0 = 200$ et 
 $u_n$ le montant au 1$^{\text{er}}$ janvier de l'ann\'ee $(2003 + n),~ n$ \'etant un entier naturel.

\begin{enumerate} \item Calculer $u_1,~ u_2$ et $u_3$ . On arrondira au centime d'euro.

\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.

\item On d\'efinit une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier 
naturel $n,~ v_n = u_n + 5000$.

\begin{enumerate} \item Calculer les trois premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.

\item Prouver que la suite $\left(v_n\right)$ est g\'eom\'etrique et pr\'eciser sa raison.

\item Exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$, puis en d\'eduire que $u_n = 5200 
\times  (1,04)^n - 5000$.

\end{enumerate}

\item Combien d'ann\'ees Pierre devra-t-il attendre, pour disposer d'au moins 3000 euros sur ce
 compte ?

\noindent Pour cette question, on pourra faire appel \`a la fonction logarithme n\'ep\'erien 
not\'ee $\ln$.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4 au choix } \hfill 6 points}

\noindent Voir annexe (\`a rendre avec la copie si l'exercice 4 est choisi).

SABCD est une pyramide de sommet S \`a base carr\'ee ABCD. La droite (SA) est perpendiculaire
 au plan de base (ABCD). Sur la figure 1 ci-jointe, seule l'ar\^ete (SA) est repr\'esent\'ee en
 vraie grandeur : SA = 9 cm, AB = 6cm.

\begin{enumerate} \item Compl\'eter la figure 1 en perspective cavali\`ere, en repr\'esentant toutes les ar\^etes et
 le point D en arri\`ere plan.

\item On consid\`ere le point $M$ du segment [BD] tel que B$M = 4\sqrt{2}$. 
Soit $N$ le point de l'ar\^ete [SA] tel que S$N$ = B$M$.

\begin{enumerate} \item \'Evaluer le quotient  $\cfrac{\text{B}M}{\text{BD}}$.

\item Sur la figure 2 repr\'esenter en vraie grandeur le carr\'e ABCD, puis construire le point
 $M$ \`a la r\`egle non gradu\'ee et au compas (on pourra utiliser \textbf{a.})

\item Sur la figure 1, construire le point $N$ d\'efini ci-dessus.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\noindent Formule qui pourra \^etre utile : La diagonale $d$ d'un carr\'e de cot\'e $a$ et telle 
que $d = a\sqrt{2}$.

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE \`a rendre si l'exercice 4 est choisi}
\end{center} 
\begin{pspicture}(7,10)
\psline(0,9.6)(0,1.5)(4.5,0)(6.5,2.7)
\uput[ul](0,9.6){S} \uput[l](0,1.5){A} \uput[d](4.5,0){B} 
\uput[r](6.5,2.7){C}
\rput(7.5,-0.4){Figure 1}
\end{pspicture}    
\vspace{1cm}
    
\noindent     \hrulefill
    
\begin{pspicture}(7,11)
\rput(7.5,-0.5){Figure 2}
\qdisk(7,0){1.5pt} \uput[d](7,0){A}
\end{pspicture}
    
\end{document}