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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}  
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2000}} 
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\begin{center}{\Large{\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S La 
Réunion juillet 2000~ \decofourright}}} \end{center} 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv (unité : 2~cm). 
On dit qu'un triangle équilatéral ABC est direct si et seulement si \\
$\left(\vect{\text{AB}},~ 
\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$. On pose 
j $= \text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que 1 ,~j et j$^2$ 
sont solutions de l'équation $z^3 = 1$. 
		\item Calculer $(1 - \text{j})(1 +\text{j}+\text{j}^2)$ ; en déduire que $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. 
		\item Vérifier que $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} +\text{j}^2 = 0$. 
	\end{enumerate} 
\item Dans le plan complexe, on considère trois points $A,\: B,\: C$, deux à deux 
distincts, d'affixes respectives $a,\: b,\: c$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $\dfrac{c-a}{b - a} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 

		\item En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si : $a + b\text{j} + c\text{j}^2 = 0.$ 
	\end{enumerate} 
\item À tout nombre complexe $z \neq 1$ , on associe les points $R,~ M$ et $M'$ d'affixes respectives 1, $z$ et $\overline{z}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $z$ les points $M$ et $M'$ sont-ils distincts ? 
		\item En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l'ensemble ($\Delta$) des points $M$ d'affixe $z$ tels que le triangle $RMM'$ soit équilatéral direct est une droite privée d'un point. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On désigne par 
$\Gamma$ la courbe paramétrée, ensemble des points $M(\theta)$ dont les coordonnées $(x(\theta),~y(\theta)$ sont définies par 

\[\left\{\begin{array}{l c l} 
x(\theta) &= &20\text{e}^{-\theta} \cos \theta \\ 
y(\theta) &=& 20\text{e}^{-\theta} \sin \theta\\ 
\end{array}\right. \quad \text{où} \quad \theta \in [0 ~;~ + \infty[\] 

\begin{enumerate}
\item Soient $M$ et $M_{1}$, les points de $\Gamma$ correspondant 
respectivement aux paramètres $\theta$ et $\theta + \pi$. 

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'il existe un réel $k$, indépendant de $\theta$, que l'on déterminera, tel que 

\[\vect{\text{O}M_{1}} = k\vect{\text{O}M}.\] 

		\item En déduire une transformation géométrique par laquelle, pour tout réel $\theta$ positif, $M_{1}$ est l'image de $M$. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $\Gamma_{1}$ la partie de $\Gamma$ correspondant à 
$\theta$ élément de l'intervalle $[0~ ;~ \pi]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : 
\[x'(\theta) = - 20\sqrt{2}\text{e}^{-\theta}\cos 
\left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)\quad \text{et} \quad y'(\theta) = - 
20\sqrt{2}\text{e}^{-\theta}\sin \left(\theta - 
\dfrac{\pi}{4}\right).\] 

		\item Étudier le sens de variations des fonctions $x$ et $y$ sur $[ 
0 ~;~ \pi]$ ; rassembler les résultats dans un tableau unique et indiquer les points de $\Gamma$, en lesquels la tangente est parallèle à l'un des axes de coordonnées. 
	\end{enumerate} 
\item Tracer $\Gamma_{1}$, ainsi que ses tangentes aux points M$(0),~ 
\text{M}\left(\dfrac{\pi}{4}\right),~\text{M} \left(\dfrac{3\pi}{4}\right),~ \text{M}(\pi)$. 

(unité graphique : 1~cm ; on prendra la feuille de papier millimétré dans le sens de la longueur avec l'axe des ordonnées à 4~cm du bord gauche). 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 5, on considère les nombres 

\[a = n^3 - n^2 - 12n \qquad \text{et} \qquad b = 2n^2 - 7n - 4.\] 

\begin{enumerate}
\item Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des entiers naturels divisibles par $n - 4$. 
\item On pose $\alpha = 2 n + 1$ et $\beta = n + 3$. On note $d$ le PGCD 
de $\alpha$ et $\beta$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir une relation entre $\alpha$ et $\beta$ indépendante de $n$. 
		\item Démontrer que $d$ est un diviseur de 5. 
		\item Démontrer que les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont multiples de 5 si et seulement 
si $n - 2$ est multiple de 5. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que $2n + 1$ et $n$ sont premiers entre eux. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, suivant les valeurs de $n$ et en fonction de $n$, le PGCD de $a$ et $b$. 
		\item Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers $n = 11$ et $n = 12$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Le but du problème est l'étude simultanée de deux fonctions $f$ et $g$ 
(\textbf{partie A}), utilisées ensuite pour déterminer une valeur approchée d'un certain nombre réel noté C. 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ; (unité 
graphique : 2~cm). 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'ensemble des nombres réels 
par : 

\[f(x) = x - \text{e}^x\qquad \text{et} \qquad g(x) = (1 - 
x)\text{e}^x.\]
 
On appelle ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$) leurs courbes représentatives respectives 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
		\item Montrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$). 
		\item Étudier le sens de variations de chacune des fonctions $f$ et $g$, sur l'ensemble des nombres réels. 
	\end{enumerate} 
\item Pour tout réel $x$, on pose $h(x) = f(x) - g(x)$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,~ h'(x) = 1 - g(x)$. 
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $h$ sur l'ensemble des nombres réels. 
		\item Démontrer que les courbe ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$) admettent un unique point d'intersection, dont l'abscisse notée $\alpha$, appartient à l'intervalle [1~;~2]. 

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
		\item Étudier, suivant les valeurs de $x$, la position relative de ($\mathcal{C}$) 
et ($\mathcal{C}'$). 
	\end{enumerate} 
\item Tracer la droite $(\Delta)$ et les courbes ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$). 
\item Pour tout réel $x$, on pose $\theta(x) = \displaystyle\int_0^x 
h(t) \:\text{d}t$. 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\theta(x)$. 
		\item En déduire, sous la forme d'une expression rationnelle en $\alpha$, 
l'aire en cm$^2$ du domaine limité sur le graphique par les courbes ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$), l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 
\alpha$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose 

\[S_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice, déterminer un encadrement de $S_{20}$ d'amplitude $10^{-3}$. 
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item En utilisant le tableau de variations de la fonction 
$g$ définie dans la \textbf{partie A}, démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~1[, 

\[\text{e}^x \leqslant \dfrac{1}{1 - x}.\] 

		\item En déduire que, pour tout nombre entier $k \geqslant 2, 
~\text{e}^{\frac{1}{k}} \leqslant \dfrac{k}{k - 1}$, 
puis que, pour tout nombre entier $k \geqslant 2 ,~ \dfrac{1}{k} 
\leqslant \ln\left(\dfrac{k}{k - 1}\right)$. 
		\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ , calculer $S_{n} - S_{n- 1}$. 
En déduire que la suite $\left(S_{n}\right)$ est décroissante. 
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n > 20$, on pose $u_{n} = S_{20} - S_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout entier $n > 20,~ u_n \geqslant 0$. 
		\item En utilisant le tableau de variations de la fonction $f$ définie dans la \textbf{partie A}, démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; 1], $1 + x \leqslant \text{e}^x$. 
		\item En déduire que pour tout nombre entier $k \geqslant 1,~ 
\dfrac{k+1}{k} \leqslant \text{e}^{\frac{1}{k}}$, puis que, pour 
tout nombre entier $k \geqslant 1,~ \ln \left(\dfrac{k+1}{k}\right) 
\leqslant \dfrac{1}{k}$. 
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n > 20$, 

\[u_{n} = \ln \left(\dfrac{n}{20}\right) - \left(\dfrac{1}{21} + 
\dfrac{1}{22} + \cdots + \dfrac{1}{n}\right).\] 

En raisonnant par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel $n > 20$, 

\[\ln \left(\dfrac{n + 1}{21}\right) \leqslant \dfrac{1}{21} + 
\dfrac{1}{22} + \cdots + \dfrac{1}{n}.\] 

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n > 20$, 

\[u_{n} = \ln \left(\dfrac{21}{20}\right) - \ln \left(\dfrac{n + 1}{n}\right).\] 

puis que, pour tout entier naturel $n > 20,~ u_{n} \leqslant 0,049$. 

	\end{enumerate} 
\item On admet que la suite $\left(S_{n}\right)$ est convergente de limite notée C. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'encadrement $S_{20} - 0,049 \leqslant \text{C} \leqslant S_{20}$. 
		\item Déterminer un encadrement de C d'amplitude 0,05. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}