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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été 
mélangées  60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées.

La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une 
pièce truquée est $\dfrac{3}{4}$.

La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une 
pièce équilibrée est $\dfrac{1}{2}$.

On suppose que les différents lancers dont il sera question dans
 la suite sont indépendants les uns des autres.

La probabilité d'un évènement $A$ est notée $p(A)$. On désigne par
 $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant que l'évènement $B$ est
 réalisé est notée $p(A/B)$.

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions
 irréductibles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prend une pièce au hasard et on la lance :

soit $T$ l'évènement : \og la pièce est truquée \fg{},

soit $P$ l'évènement : \og on obtient PILE\fg.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité d'obtenir \og Pile \fg{} (on pourra s'aider d'un arbre).
		\item Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que 
l'on a obtenu \og PILE \fg{} ?
	\end{enumerate}
\item On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois.

\begin{itemize}
\item si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois \og Pile \fg{},
on décide d'éliminer la pièce,
\item dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.
\end{itemize}

On note $E$ l'évènement \og la pièce est éliminée \fg{}.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que la pièce soit  éliminée  sachant qu'elle est équilibrée ?
		\item Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant
 qu'elle est truquée ?
		\item Quelle est la probabilité d'avoir pris une pièce équilibrée et
 de l'avoir éliminée ou d'avoir pris une pièce truquée et de l'avoir 
 conservée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv{} (unité graphique : 1~cm).

On considère l'application $f$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$
 d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe

\[z' = z^3 - 3z^2 + 3z.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points B et C d'affixes respectives i et i$\sqrt{3}$.

Calculer les affixes des points images de O, B et C par $f$. Placer les points B, C et leurs images B$'$ et C$'$ sur une figure. L'application $f$ conserve-t-elle  l'alignement ?
\item  Montrer qu'un point $M$ d'affixe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si $z$ vérifie l'équation $M$ d'affixe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si $z$ vérifie :

\[z^3 - 3z^2 + 2z = 0.\]

En déduire que $f$ possède trois points invariants, dont on déterminera les affixes.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer pour tout $z$ de $\C$ l'égalité suivante :

\[z' - 1 = (z - 1)^3.\]

		\item Soit $z$ un nombre complexe différent de 1, on note $r$ le module de $z - 1$ et $\alpha$ un argument de $z - 1$. Exprimer le module $r'$ et
 un argument $\alpha'$ de $z'- 1$ en fonction de $r$ et de $\alpha$.

Soit A le point d'affixe 1, déduire des résultats précédents une relation entre la distance A$M'$ et la distance A$M$, et une relation entre une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right)$ et une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$.
		\item Montrer que si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A  de rayon $\sqrt{2}$, alors $M'$ appartient à un cercle $\Gamma '$ de même centre dont on déterminera le rayon.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, si $M$ appartient à une demi-droite ouverte D d'origine A passant par le point B, alors $M'$ appartient à une demi-droite D$'$ que l'on déterminera.

Justifier l'appartenance du point B$'$ à $\Gamma '$ et à D$'$.

Compléter la figure avec les différents éléments : $\Gamma,~\Gamma '$,\: D et 
D$'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} 
(unité graphique : 2~cm).

\emph{On fera une figure que l'on complétera avec les différents
 éléments intervenant dans l'exercice.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question on considère l'application $s$
 du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le 
 point $M'$ d'affixe

\[z'= - \text{i}\overline{z}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $s$ est une réflexion d'axe noté D et de vecteur 
directeur $\vect{w}$ d'affixe $1 - \text{i}$.
		\item Soit D$'$ la droite d'équation $y = - 1$, on appelle $s'$ la 
réflexion d'axe D$'$.

Calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{w},~\vect{u}\right)$.

Déterminer géométriquement la composée $r = s' \:\circ\: s$.
		\item Déterminer l'écriture complexe de $r$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question un considère l'application $p$ du plan
 dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ 
d'affixe

\[z_1 = \dfrac{1}{2}z - \dfrac{1}{2}\text{i}\overline{z} = \dfrac{z + z'}{2}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Soit le point A d'affixe $z = 2 + \text{i}$,~ déterminer l'affixe du point A$_1$ image de A par $p$.
		\item Montrer que tout point $M$ a son image $M_1$ située sur la droite d'équation $y = - x$.
		\item Définir géométriquement, en utilisant les questions précédentes, l'application $p$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'application $f$ définie par $f = s'\:\circ \:p$.

Construire l'image A$''$ du point A par $f$.

Montrer  que $s\:\circ\: p = p$ et en déduire que $f= r\: \circ\: p$. Montrer	que, tout point $M$ du plan a son image par $f$ sur une droite $\Delta$, que l'on déterminera.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par
\[ f(x) = \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{- x}}{2}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction 
$f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal 
$\left(\text{O};~\vect{\imath} ,~\vect{\jmath}\right)$ 
(unité graphique 2 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire comme
 propriété géométrique pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ et les variations de
$f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item Représenter graphiquement la courbe $\mathcal{C}$
 dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

On considère le point A du plan de coordonnées (1~0~) et on s'intéresse au minimum de la distance A$M$ où $M$ est un point de la courbe $\mathcal{C}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $M$ étant un point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$, calculer en fonction de $x$ la distance A$M$.
\item On considère maintenant la fonction $g$ définie 
sur $\R$ par :

\[g(x) = (x - 1)^2 + \dfrac{\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x} 
\right)^2}{4}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$.
		\item On désigne par $g''$ la fonction dérivée seconde de $g$. 
Calculer $g''(x)$.

Montrer que pour tout $x$ réel :

\[g''(x) = \text{e}^{2x} + \text{e}^{- 2x} + 2.\]

		\item En déduire les variations de $g'$ sur $\R$.
		\item Montrer qu'il existe un unique nombre réel $\alpha$ de l'intervalle [0~;~1] vérifiant $g'(\alpha) = 0.$

Vérifier l'inégalité suivante : $0,46 \leqslant \alpha \leqslant 0,47$.

Déterminer le signe de $g'(x)$ selon les valeurs de $x$.
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur $\R$ (on ne demande pas les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$). Quel est le minimum sur $\R$ de la fonction $g$ ? 
	\end{enumerate}
\item Établir que la distance A$M$ est minimum au point 
$M_{\alpha}$ d'abscisse $\alpha$ de la courbe $\mathcal{C}$.

Placer le point $M_{\alpha}$ sur le graphique.
\item En utilisant la définition de $\alpha$, montrer les 
égalités :

\[\alpha - 1 = - \dfrac{1}{2} f(2\alpha)\]

puis :

\[g(\alpha) = \dfrac{1}{4}\left[f(2\alpha)\right]^2 + \left[f(\alpha)\right]^2.\]

Utiliser les variations de $f$ et le résultat suivant,~ $0,46 \leqslant
\alpha \leqslant 0,47$ pour encadrer $g(\alpha)$ ; en  déduire un encadrement de la distance A$M_{\alpha}$ d'amplitude $2\cdot10^{- 2}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}

Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère la fonction $f_n$ définie sur
 $\R$ par

\[f_n (x) = \dfrac{\text{e}^{\frac{x}{n}} - \text{e}^{-\frac{x}{n}}}{2}.\]

On appelle $\mathcal{C}_n$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal \Ouv.

On donne ci-dessous les représentations graphiques des fonctions $f_2,\:f_3,\:
f_4,\:f_5$,\: et $f_6$ soit respectivement les courbes $\mathcal{C}_2,
~ \mathcal{C}_3,~ \mathcal{C}_4,~\mathcal{C}_5$ et $\mathcal{C}_6$ 
obtenues à l'aide d'un logiciel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale $I_1 = \displaystyle\int_0^1  f_1\:
\text{d}x$.
\item On considère pour $n$ entier naturel non nul l'intégrale
 $I_n = \int_0^1 f_n\: \text{d}x$.

Interpréter géométriquement $I_n$.

Calculer pour $n$ entier naturel quelconque, $I_n$ en fonction de $n$.
\item Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite 
$(I_n)$ ?

Montrer que $I_n = \dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{\text{e}^{\frac{1}{n}} - 1}
{\left( \dfrac{1}{n}\right)} - \dfrac{\text{e}^{- \frac{1}{n}} - 1}{\left(- \dfrac{1}{n}
\right)} \right]$ et en déduire la limite de la suite $(I_n)$ en $+ \infty$.
\end{enumerate}

\begin{center}
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\begin{pspicture}(1,0.64)
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\end{center}
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