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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat La Réunion S 
juin 2003~\decofourright}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Cet exercice comporte 3 questions indépendantes.

Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c et d.

Aucune justification n'est demandée pour cet exercice.

Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse.

Vous inscrirez en toutes lettres \og VRAI \fg{} ou \og FAUX \fg{} dans la case correspondante du tableau donné en annexe à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne contient $75$ boules blanches et $25$ boules noires. L'expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d'être tirées. On effectue $n$ tirages indépendants et avec remise, $n$ désignant un entier supérieur à 10. Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.
	\begin{enumerate}
		\item $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{1}{4}$.
		\item P($X = 0) = \dfrac{1}{2^{2n}}$
		\item P($X < 5) = 1 - \text{P}(X > 5)$
		\item E($X) = 0,75n$
	\end{enumerate}
\item Une maladie atteint 1\,\% d'une population donnée.

Un test de dépistage de cette maladie a les  caractéristiques suivantes :

$\bullet$~Chez les individus malades, 99\,\% des tests sont positifs et 1\,\% sont négatifs.

$\bullet$~Chez les individus non malades, 98\,\% des tests sont négatifs
(les autres étant positifs).

Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test.

On note $M$ l'évènement : \textbf{l'individu est malade}  et $T$ l'évènement : \textbf{le test pratiqué est positif}.
	\begin{enumerate}
		\item P$_{M}(T) +$ P$_{\overline{M}}(T) = 1,01$.
\item P$_{M}(T$) + P$_{\overline{M}}(T$) = P$(T)$
		\item P$(T)  = 2,97 \cdot 10^{-2}$.
		\item Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que l'individu testé ne soit pas malade.
	\end{enumerate}
\item La durée d'attente en seconde de la caisse d'un supermarché est une 
variable aléatoire $Y$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,01$.
Alors :
	\begin{enumerate}
		\item La densité de probabilité de $Y$ est la fonction $f$
définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

$f(t) = \text{e}^{-0,01t}$
		\item Pour tout réel $t$ positif, P($Y \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-0,01t}$.
		\item La probabilité d'attendre moins de 3 minutes à cette caisse est, à  $0,01$ près, égale à $0,16$.
		\item Il y a plus d'une chance sur deux que l'attente à cette caisse soit supérieure à une minute.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1.

Le nombre $a$ désigne un réel strictement positif.

On considère le point $M$ de la demi-droite [AE) défini par
$\vect{\text{A}M}=\dfrac{1}{a}\;\vect{\text{AE}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le volume du tétraèdre ABD$M$ en
fonction de $a$.
\item Soit $K$ le barycentre du système de points pondérés :

\[\left\{\left(M\,;\,a^2\right),~(\text{B}\,;\,1),~(\text{D}\,;\,1)\right\}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\vect{\text{B}K}$ en fonction de $\vect{\text{B}M}$
et de $\vect{\text{BD}}$.
		\item Calculer $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{A}M}$ et $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{AD}}$ puis en déduire l'égalité $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{M\text{D}}=0$.
		\item Démontrer l'égalité $\vect{\text{D}K}~\cdot~\vect{M\text{B}}=0$.
		\item Démontrer que $K$ est l'orthocentre du triangle BD$M$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer les égalités $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{B}}=0$ et $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{D}}=0$. Qu'en déduit-on pour la droite (A$K$) ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle BD$M$ est isocèle et que son aire est égale à $\dfrac{\sqrt{a^2 +2}}{2a}$ unité
d'aire.
	\item Déterminer le réel $a$ tel que l'aire du triangle BD$M$ soit
égale à 1 unité d'aire. Déterminer la distance A$K$ dans ce cas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vskip 1cm

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\psset{unit=2cm}
\psframe(0,0)(2,2) %ABFE
\psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH
\psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%DH
\psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC
\psline[linestyle=dashed](2,0)(0.75,0.75)%BD
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(0.75,0.75)%MD
\psline(0,1.5)(2,0)%MB
\uput[dr](0.4,0.85){D} \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](2,0){B}
\uput[dr](2.75,0.75){C} \uput[dr](0.5,3){H} \uput[ul](0,2){E}
\uput[ul](2,2){F} \uput[dr](2.5,3){G} \uput[dl](0,1.65){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Le plan est rapporté à  un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm, pour unité graphique.

On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout 
point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = -\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)z - 1 + \text{i}\left(1 + 
\sqrt{3} \right).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une similitude directe dont le centre
$\Omega$ a pour affixe i. En déterminer le rapport et l'angle.

\item Soit M$_{0}$ le point d'affixe $z_{0} = 
\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3}{4}\text{i}$.

Calculer $\Omega \text{M}_{0}$ et donner une mesure en  
radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\Omega 
\text{M}_{0}}\right)$.
\item On considère la suite de points $(M_{n})_{n 
\geqslant 0}$, définie pour tout entier naturel $n$ par $M_{n+1} = 
f(M_{n})$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item	Placer les points 
$\Omega,~\text{M}_{0},~\text{M}_{1},~\text{M}_{2},~\text{M}_{3}$ et 
$\text{M}_{4}$.
		\item Monter par récurrence, pour tout entier naturel $n$, 
l'égalité :

\[z_{n}- \text{i} = 2^n 
\text{e}^{\text{i}\frac{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - \text{i}\right).\]

		\item Pour tout entier naturel $n$, calculer $\Omega M_{n}$, puis déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\Omega M_{n} \geqslant 10^2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'équation (E) : $7x - 12y = 1$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple $(-5~;~-3)$ est solution, résoudre l'équation  (E).
		\item Soit $\Delta$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe 
$z$ telle que Im$(z) = 1$ et Re$(z) \geqslant 0$.

Caractériser géométriquement $\Delta$ et le représenter.

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne
à la demi-droite d'origine $\Omega$ dirigée par le vecteur 
$\vect{u}$. Préciser son plus petit élément.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats.}

\bigskip

On considère l'équation différentielle (E) : $y - y' = \dfrac{\text{e}^x}{x^{2}}$ et on cherche l'ensemble des solutions de cette équation définies sur $]0~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $u(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}$	est solution de (E).
		\item Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ est solution de (E) si et seulement si la fonction $v - u$, définie sur $]0~; ~+ \infty[$, est solution de l'équation
différentielle $y - y' = 0$.
		\item En déduire toutes les solutions définies sur $]0~; ~+ \infty[$ 
de l'équation (E).
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $k$ négatif ou nul, on considère la fonction
$f_{k}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f_{k}(x) = \dfrac{kx + 1}{x} \text{e}^x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f_{k}$ en $0$ et en $+ \infty$.
		\item Calculer $f'_{k}(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et déterminer le nombre de solutions sur $]0~; ~+ \infty[$ de l'équation  $f'_{k}(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la
fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal \Oij.

On a tracé sur le graphique ci-joint les courbes  $\mathcal{C}_{-1},~ 
\mathcal{C}_{-0,25},~\mathcal{C}_{-0,15}$ et  $\mathcal{C}_{0}$.

En utilisant la deuxième question, reconnaître chaque courbe (les 
réponses doivent être justifiées).

\item Pour tout réel $a$ strictement positif, on pose 
$\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{a+1} \dfrac{\text{e}^x}{x}\:\text{d}x$.

	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement $\mathcal{A}(a)$.
		\item On désigne par $F$ une primitive de la fonction $x \mapsto 
\dfrac{\text{e}^x}{x}$ sur $]0~;~+ \infty[$.

En remarquant que $\mathcal{A}(a) = F(a + 1) - F(a)$ étudier le sens de variation de la fonction qui à tout réel $a$ élément de $]0~; ~+ \infty[$ associe le réel $\mathcal{A}(a)$
		\item On veut découper dans le plan une bande verticale de largeur une unité de telle sorte que l'aire située dans cette bande entre les 
courbes $\mathcal{C}_{0}$ et (O$x$) soit minimale. Comment doit-on 
procéder ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Annexe du problème}

\vspace{1cm}

\psset{yunit=2.5mm}
\begin{pspicture}(0,-15)(8,30)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(8,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-15)(0,30)
\uput[d](8,0){$x$} \uput[l](0,30){$y$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.04}{3.1}{1 x sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.04}{5.4}{1 0.25 x mul sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.04}{7.2}{1 0.15 x mul sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.035}{5.02}{ 2.71828 x exp x div}
\rput(1.5,-4){(3)} \rput(4.4,-4){(4)} \rput(4,4){(2)} \rput(4.5,26){(1)} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}