%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{ulem}
\usepackage{graphics}
\usepackage{lscape}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Métropole -- La Réunion 19 septembre 2007},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2007}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Métropole  \&  La Réunion~\decofourright\\septembre 2007}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances}

La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si vraie ou fausse et justifier.

Dans cet exercice $n$ désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item P : Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) =x^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée sur
$\R$ par : $f'(x) = nx^{n-1}$.
\item Q : Soit $u$ une fonction dérivable sur $\R$ et soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f= u^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée par 

$f'=  nu^{n-1}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item  On désigne par $g$ la fonction définie sur $] -1~;~ 1[$ par $g(0) = 0$ et 

$g'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ où $g'$ désigne la
dérivée de la fonction $g$ sur $] -1~;~ 1[$ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$.

On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $]- \pi~;~ 0[$ par 

$h(x) = g(\cos x)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout $x$ de $] -\pi~;~ 0[$ on a $h'(x) = 1$, où $h'$ désigne la dérivée de $h$.
		\item  Calculer $h\left(- \dfrac{\pi}{2}\right)$ puis donner l'expression de $h(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La suite $u$ est définie par : $u_{0} = 2$ et $u_{n+1} =	\dfrac{1}{3}u_{n}+ \dfrac{23}{27}$ pour tout entier naturel~$n$.
	\begin{enumerate}
		\item  On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan \textbf{en annexe}, la droite d'équation $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{23}{27}$ et le point A de coordonnées (2 ; 0). 
		
Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite $u$.
		\item  Démontrer que si la suite $u$ est convergente alors sa limite est $\ell = \dfrac{23}{18}$.
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n} \geqslant   \dfrac{23}{18}$.
		\item  Étudier la monotonie de la suite $u$ et donner sa limite.
	 \end{enumerate}
\item    
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :
\[\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{10^k} = \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right) ~  \text{\small c’est-à-dire que} ~ \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3}  + \cdots + \dfrac{1}{10^{n+1}}  = \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)\] 
		\item  La suite $v$ est définie par $v_{n}= 1,277\:7 \dots 7$ avec $n$ décimales consécutives égales à $7$.
		
Ainsi $v_{0} = 1,2,\:\:  v_{1} = 1,27$  et  $v_{2} = 1,277$.

En utilisant le \textbf{a} démontrer que la limite de la suite $v$ est un nombre rationnel $r$ (c'est-à-dire le quotient de deux entiers).
	 \end{enumerate}
\item  La suite $u$ définie au \textbf{1} et la suite $v $ sont-elles adjacentes ? Justifier.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Soit les nombres complexes : 
\[z_{1} = \sqrt{2} +  \text{i}\sqrt{6},~ z_{2}  = 2 + 2\text{i}\quad  \text{et} \quad  Z =  \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.\]
\begin{enumerate}
\item Écrire $Z$ sous forme algébrique.
\item Donner les modules et arguments de $z_{1},~  z_{2}$ et $Z$.
\item En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra 2~cm comme unité graphique.

On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2}$ et $Z$. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
\item Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{\np{2007}}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l'ensemble A$_{7} = \{1~;~ 2~;~ 3 ~;~ 4~;~ 5 ~;~ 6\}$
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout élément $a$ de A$_{7}$ écrire dans le tableau figurant en annexe 2 l'unique élément $y$ de A$_{7}$
tel que $ay \equiv  1 \quad (\text{modulo}~ 7)$.
		\item  Pour $x$ entier relatif, démontrer que l'équation $3x \equiv  5 \quad(\text{modulo}~ 7)$ équivaut à $x \equiv  4\quad (\text{modulo}~ 7)$.
		\item  Si $a$ est un élément de A$_{7}$, montrer que les seuls entiers relatifs $x$ solutions de l'équation $ax \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 7)$ sont les multiples de $7$.
	\end{enumerate}
\item  Dans toute cette question, $p$ est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'ensemble A$_{p}= \{1~;~2~;~\ldots ~;~p - 1\}$ des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à $p$. Soit $a$ un élément de A$_{p}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $a^{p - 2}$ est une solution de l'équation $ax \equiv 1\quad (\text{modulo}~ p)$.
		\item  On note $r$ le reste dans la division euclidienne de $a^{p - 2}$ par $p$. Démontrer que $r$ est l'unique solution $x$ dans A$_{p}$, de l'équation $ax \equiv  1\quad (\text{modulo}~ p)$.
		\item  Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. Démontrer que $xy \equiv  0 \quad(\text{modulo}~ p)$ si et seulement si $x$ est un multiple de $p$ où $y$ est un multiple de $p$.
		\item  Application : $p =  31$. Résoudre dans A$_{31}$  les équations : $2x \equiv  1 (\text{modulo}~ 31)$ et $3x \equiv 1 \quad(\text{modulo}~ 31)$. À l'aide des résultats précédents, résoudre dans $\Z$ l'équation $6x^2 - 5x + 1 \equiv  0 \quad(\text{modulo}~ 31)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ :
$\begin{array}{l c l}
(\text{E})& :&  y'+ (1 + \tan x) y = \cos x\\
(\text{E}_{0})& :&  y' + y = 1.\\
\end{array}$

\medskip

\begin{enumerate}
	\item  Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E$_{0}$).
	\item  Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$  et telles que 
	
$f(x) = g(x) \cos x$.
		
Démontrer que la fonction $f$ est solution de (E) si et seulement si la fonction $g$ est solution de (E$_{0}$).
	\item  Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 0$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}
\medskip

(À compléter et à rendre avec la copie)

\vspace{1cm}
\end{center}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\psset{unit=3.2cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.2)(3,2.5)
\multido{\d=0.0+0.1}{31}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\d,0)(\d,2.5)}
\multido{\d=0.0+0.1}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\d)(3,\d)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(3,2.5)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,2.5){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](2,0){A}\psdots(2,0) 
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{3}{x 3 div 23 27 div add}
\end{pspicture}
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}
\medskip

(À compléter et à rendre avec la copie)

\vspace{1cm}
\end{center}
\textbf{Exercice 3 (spécialité)}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$y$	&	&	&	&	&	&6\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document} 