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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion septembre 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.

On considère les plans $\mathcal P$ et $\mathcal Q$ d'équations respectives : 

\[x+ y + z = 0 \quad \text{et} \quad 2x + 3y + z - 4 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'intersection des plans $\mathcal P$ et $\mathcal Q$ est la droite $\mathcal D$ dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x& -4 -2t\\
y& 4 + t\\
z& t
\end{array}\right. \text{où $t$ est un nombre réel.}\]

\item Soit $\lambda$ un nombre réel.
 
On considère le plan $\mathcal P_{\lambda}$ d'équation : $(1- \lambda)( x + y + z) + \lambda(2 x + 3 y + z - 4) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}( 1 + \lambda~;~ 1 + 2\lambda~;~ 1)$ est un vecteur normal du plan $\mathcal P_{\lambda}$.
		\item  Donner une valeur du nombre réel $\lambda$ pour laquelle les plans $\mathcal P$ et $\mathcal P_{\lambda}$ sont confondus.
		\item  Existe-t-il un nombre réel $\lambda$ pour lequel les plans $\mathcal P$ et $\mathcal P_{\lambda}$ sont perpendiculaires ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal D'$, intersection des plans $\mathcal P$ et $\mathcal P_{-1}$.
 
Montrer que les droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ sont confondues. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On considère le point A(1~;~1~;~1).

Déterminer la distance du point A à la droite $\mathcal D$, c'est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite $\mathcal D$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question et la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip

Dans une fête foraine, Luc décide de participer à un jeu qui se déroule de la manière suivante:

Luc tire au hasard un jeton dans une urne contenant quatre jetons rouges et deux jetons bleus.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le jeton tiré est bleu. Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, sans remettre dans l'urne le premier jeton tiré, il tire au hasard un deuxième jeton dans l'urne.
\item[$\bullet~$] Si le deuxième jeton tiré est bleu, Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, sans remettre dans l'urne les deux jetons précédents, il tire au hasard un troisième jeton dans l'urne.
\item[$\bullet~$] Si le troisième jeton est bleu, Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, le jeu s'arrête et Luc a perdu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l'issue du deuxième tirage est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\dfrac{19}{15}$&$\dfrac{2}{5}$&$\dfrac{11}{15 }$&$\dfrac{4}{15 }$\\
\end{tabularx} 

\medskip
\item La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l'issue du troisième tirage est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\dfrac{1}{5}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{2}{15 }$&$\dfrac{1}{9}$\\
\end{tabularx} 

\medskip 
\item  La probabilité que Luc gagne à ce jeu après avoir effectué au moins deux tirages est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\dfrac{3}{5}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{7}{15 }$&$\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item La probabilité que Luc gagne à ce jeu, sachant qu'il a obtenu un jeton rouge au premier tirage est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\dfrac{7}{10}$&$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{11}{15 }$&$\dfrac{5}{9}$\\
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f_{k}(x) = \ln (x) - kx^2 + 1.\]

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f_{k}$ en $0$.
\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$.

Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$.

En déduire la limite de la fonction $f_{k}$ en $+\infty$.

\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $ f'_{k}(x)  = \dfrac{1- 2kx^2}{x}$.

\item Pour un nombre réel $k$ strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f_{k}$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & \dfrac{1}{\sqrt{2k}} & \esp & +\infty \rule[-13pt]{0pt}{30pt} \\
%f'(x) &  & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & \vline\;\vline&  &   \Rnode{max}{\dfrac{1-\ln(2k)}{2}}  &  &  \rule{0pt}{20pt} \\
~f_k(x)~ & \vline\;\vline &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline  \Rnode{min1}{\phantom{99}} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\phantom{99}}\rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min1}{max} 
\ncline{->}{max}{min2}
\\
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

Justifier les renseignements sur les variations de la fonction $f_{k}$ figurant dans ce tableau.
\item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{k}$ représentative d'une fonction $f_{k}$ pour une certaine valeur du nombre réel $k$ strictement positif. Le point A$\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{k}$.

Quelle est la valeur du nombre réel $k$ correspondant ? Justifier la démarche. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm, arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(4,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1,-2.5)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,0.5){$\dfrac{1}{2}$}
\uput[u](1,0.5){A} \uput[u](1.3,0.4){\blue $\mathcal{C}_{k}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.031}{3}{x ln 1 add x dup mul 2 div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie on pose $k = \dfrac{1}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\ln (x )\:\text{d}x$. On pourra utiliser une intégration par parties.
\item Calculer,  en unité d'aire, la mesure de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =\dfrac{1}{2}$ et $x = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 8~centimètres.

On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$  telle que

\[z' = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})z.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$. 
\item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante :  $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n$, $M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n$, $z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$.
		\item Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. À quelle condition sur $n$ et $p$ les points $M_{n}$ et $M_{p}$ sont-ils alignés avec l'origine O du repère ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 4~centimètres.

On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

\[ z' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1 + \text{i})z.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la transformation $f$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.
\item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n$, $M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n$, $z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$.
		\item Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$.
		\item  Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$, les points $M_{n}$ et $M_{n+8}$ sont confondus.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

Prouver que les triangles $M_{0}M_{1}M_{2}$ et $M_{7}M_{0}M_{1}$ ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.
\end{enumerate}
\end{document}