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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small La Réunion}
\rfoot{\small juillet 1997}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion  juillet 
1997~\decofourright}}
\vspace{0,5cm}

\end{center}
\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient 8 jetons : trois jetons noirs et carrés, trois jetons noirs et ronds, un jeton vert et carré, un jeton vert et rond.
 
L'épreuve consiste à extraire, au hasard, deux jetons de l'urne selon une procédure qui est déterminée par le lancer d'une pièce truquée :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si l'on obtient \og PILE \fg, on extrait les deux jetons simultanément, 
\item[$\bullet~~$]si l'on obtient \og FACE \fg, on extrait les deux jetons successivement avec remise.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Lors du lancer de la pièce, la probabilité d'apparition de \og PILE\fg{} est $\dfrac{7}{15}$. 

On note :
 
$P$ l'évènement \og on obtient PILE \fg{} ;

$F$ l'évènement \og on obtient FACE\fg{} ;

$A$ l'évènement \og les deux jetons tirés ont la même forme OU la même couleur\fg{} ;
 
$E_{1}$ l'évènement \og obtenir deux jetons de la même couleur \fg{} ; 

$E_{2}$ l'évènement \og obtenir deux jetons de la même forme \fg{} ;
 
$E_{3}$ l'évènement \og obtenir deux jetons de la même forme ET de la même couleur \fg.
 
\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions.}
 
\begin{enumerate}
\item On lance la pièce. 
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que l'on a obtenu \og PILE \fg. 
		
Déterminer la probabilité conditionnelle des évènements $E_{1}$,\, $E_{2}$ et $E_{3}$.
 
En déduire que la probabilité de l'évènement $A$, sachant que $P$ est réalisé, 
 est $\dfrac{11}{14}$.
		\item On suppose que l'on a obtenu \og FACE\fg.
		 
Déterminer la probabilité conditionnelle des évènements $E_{1}$,\, $E_{2}$ et $E_{3}$.
 
En déduire que la probabilité de l'évènement $A$, sachant que $F$ est réalisé, 
 est $\dfrac{13}{16}$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de l'évènement $A$ ? 
\item Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2, on répète $n$ fois l'épreuve, de manière indépendante.
 
Déterminer la probabilité $p_{n}$ pour que l'évènement $A$ se réalise à chaque épreuve.
 
Pour quelles valeurs de $n$, a-t-on $p_{n}> \dfrac{1}{2}$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

À tout point $M$ du plan d'affixe $z$, différente de zéro, on associe les points $M'$ et $M''$ d'affixes respectives $z'$ et $z''$ définies par $z'= \text{i}z$ et $z'' = z^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Cas particulier}

\medskip

Soit A le point d'affixe $a=2 - \text{i}$ et B le point d'affixe $b = 2 + \text{i}$. 

On appelle A$'$ et A$''$ les points associés à A, 

On appelle B$'$ et B$''$ les points associés à B.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, sous forme algébrique, les affixes $a'$ et $a^2$ des points A$'$ et A$''$. Prouver que A est le milieu du segment [A$'$A$''$].
		\item Déterminer, sous forme algébrique, les affixes $b'$ et $b''$ des points B$'$ et B$''$.
		\item Calculer, sous forme algébrique, $\dfrac{b - b''}{b - b'}$.
		\item En déduire la nature du triangle B B$'$B$''$.
Représenter sur une figure les points A, A$'$, A$''$, B, B$'$ et B$''$.
	\end{enumerate}
\item Cas général

$M$ est un point quelconque d'affixe $z$ différente de zéro. $N$ est le point d'affixe $\overline{z}$. $N'$ et $N''$ sont les points associés au point $N$.

On pose $z = x + \text{i}y$ où $x \in \R$ et $y \in \R$.

	\begin{enumerate}
		\item Prouver que, si $z \neq 1$, l'angle $\left(\vect{MM'},\,\vect{MM''} \right)$ a pour mesure un argument de $\dfrac{z - 1}{\text{i} - 1}$.
		\item Déterminer une relation entre $x$ et $y$ pour que $\dfrac{z - 1}{\text{i} - 1}$ soit réel.
		\item Montrer que les points $M,\, M'$ et $M''$ sont alignés si et seulement si
		
$y = - x + 1$. (1)
		\item On suppose que l'affixe de $M$ est différente de 1 et que la relation (1) est vérifiée.

Prouver que $NN'N''$ est un triangle rectangle en $N$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{Dans le plan orienté, OIKJ désigne le carré de c\^oté 1 tel que $+ \dfrac{\pi}{2}$ soit une mesure de $\left(\vect{\text{OI}},\, \vect{\text{OJ}} \right)$.

A est un point quelconque de la droite (IJ) différent de I.

$s$ désigne la similitude directe de centre O qui transforme le point I en le point A.

Les images de J, K et A par $s$ sont respectivement notées J$'$, K$'$ et A$'$.}\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(2.5,2.5)
\psframe(0,0.5)(2,2.5)
\psline(0,2.5)(2.5,0)
\uput[dl](2,0.5){I} \uput[ul](0,2.5){J} \uput[dl](0,0.5){O} \uput[ur](2,2.5){K} \uput[ur](2.3,0.3){A}\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2.3,0.2) 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilat\`ere OAK$'$J$'$ ?
		\item Prouver que les points J$'$, A et A$'$ sont alignés.
		\item Comparer les angles $\left(\vect{\text{OI}},\,\vect{\text{OA}}\right)$ et $\left(\vect{\text{OA}},\,\vect{\text{OA}'}\right)$.
		\item Reproduire le dessin ci-dessus en prenant OI = 5 cm et construire les points J$'$, K$'$ et A$'$. (la construction sera expliquée)
		\item Prouver que A$'$O = A$'$K$'$. 
	\end{enumerate}
\item Dans le plan complexe rapporté au rep\`ere orthonormal direct $\left(\text{O},\,\vect{\text{OI}},\,\vect{\text{OJ}} \right)$, on note dorénavant $a$ l'affixe du point A et $\alpha$ un argument de $a$.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que $a - 1$ admet pour argument $- \dfrac{\pi}{4}$ ou $\dfrac{3\pi}{4}$.
		\item En utilisant la symétrie d'axe (IJ), prouver que 
		
$\left(\vect{\text{OI}},\,\vect{\text{OA}}\right) = \left(\vect{\text{KA}},\,\vect{\text{KI}}\right)$.
		
		En déduire qu'un argument de $a - (1 + \text{i})$ admet pour mesure $- \alpha - \dfrac{\pi}{2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que si $z'$ désigne l'affixe du point $M'$ image du point $M$ d'affixe $z$ par $s$, \, $z' = az$.
		\item Déterminer $k'$ et $a'$ les affixes respectives des points K$'$ et A$'$ en fonction de $a$.
		\item On note $z_{1}$ et $z_{2}$ les affixes respectives de $\vect{\text{KK}'}$ et de $\vect{\text{K}'\text{A}'}$.
		
		En utilisant la question 2., prouver que $z_{1}$ est un réel et que $z_{2}$ est un imaginaire pur.
	\end{enumerate}
\item Prouver que K$'$ est le projeté orthogonal de A$'$ sur la droite (JK).
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME }

\medskip

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal $\mathcal{R}$ = \Oij. L'unité graphique est 4 cm.

Dans tout le problème $I$ désigne l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\\

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\medskip

On appelle $f_0$ et $f_1$ les fonctions définies sur $I$ par $f_0(x) = \text{e}^x$ et $f_1(x) = x\text{e}^x.$

$\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$ sont les courbes représentatives de $f_0$ et de $f_1$ dans le repère $\mathcal{R}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f_1$ en $+~\infty$.
		\item Étudier le signe de $f'_1$, sur $I$ et dresser le tableau de variation 
de $f_1$.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que pour tout $x \in  I,~ f'_1(x) = f_0(x) - f_1 (x) ~~ 
(1)$
\item Soit $x \in I$ . On appelle $M_0$ et $M_1$ les points de $\mathcal{C}_0$ et de $\mathcal{C}_1$ d'abscisse $x$.
Déterminer selon les valeurs de $x$ les positions relatives des courbes 
$\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$.
\item Les graphiques
	\begin{enumerate}
		\item Comment peut-on construire $\mathcal{C}_0$ à partir de la courbe d'équation $y = \text{e}^x$~ ?
		
Dessiner $\mathcal{C}_0$.
		\item Placer les points de  $\mathcal{C}_1$ d'abscisses 0, 1, 2 en précisant les tangentes à $\mathcal{C}_1$ en ces points.\\
		\item Dessiner $\mathcal{C}_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\begin{center} 
\textbf{Partie B} 
\end{center}

\medskip

On se propose de fabriquer, à la suite de $f_0$ et de $f_1$ des fonctions 
$f_2,\,f_3,\,\ldots ,\, f_n$, dérivables sur $I$ et satisfaisant aux 
conditions :

\[(2) \left\{ \begin{array}{l c l}
\multicolumn{3}{l}{ \text{pour tout}~ x ~\text{élément de}~ I,~
\text{pour tout}~ n~ \text{entier naturel non nul,}}\\ 
f^{\prime}_{n}(x) & = & f_{n - 1}(x) - f_n(x)\\
f_n(0) & = & 	0
\end{array} \right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose pour tout $x$ de $I,~ g_n(x) = f_n(x)\text{e}^x$ ,~ c'est-à-dire 
$f_n(x) = g_n(x)\text{e}^{- x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f^{\prime}_n(x)$ en fonction de $g_n(x)$ et de $g'_n(x)$ pour tout $x$ 
 de $I$. 
		\item Montrer que $f_n$ satisfait aux conditions (2) si et seulement si 
		
\[(3) \left\{ \begin{array}{l c l}
\multicolumn{3}{l}{ \text{pour tout}\, x\,\text{élément de}\, I,\,
\text{pour tout}\, n\, \text{entier naturel non nul,}}\\ 
g^{\prime}_{n}(x) 	& = & \text{e}^xf_{n - 1}(x) \\
g_n(0) 		& = & 	0
\end{array} \right.\]

 	\end{enumerate} 
\item  Calcul de $f_2$. (On rappelle que $f_1(x) =  x\text{e}^{-x}$.\\
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g^{\prime}_2(x)$ puis $g_2(x)$~ pour $x \in I$.\\
		\item En déduire $f_2(x)$.
		\item Montrer par récurrence que pour tout $x$ élément de $I$, pour tout $n$ entier naturel non nul,
		
		\[f_n(x) = \dfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} 
\textbf{Partie C} 
\end{center}

\medskip

Soit $a$ un élément non nul fixé dans $I$. Pour tout entier naturel $n$, on pose
$I_n(a) = \displaystyle\int_0^a f_n(x)\: \text{d}x$\, où $f_{n}$ est la fonction définie dans la deuxième partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0(a).$
\item En utilisant les conditions (2), montrer que pour tout $n \geqslant 1,~$

\[I_n(a) - I_{n-1}(a) = -~\dfrac{a^n}{n!}\text{e}^{-a}.\]

\item En déduire que pour tout $n > 0 ,~ I_n(a) = 1 - 
\left(\displaystyle\sum_{k=0}^n  \dfrac{a^k}{k!} \right)\text{e}^{-a}$.
\item Dans cette question, on pose $a = 1$. 
On appelle $(u_n)$ la suite numérique définie pour tout $n \in \N$ par : 

\[u_n = 1 - \left(\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \right)\text{e}^{-1} = 
\int\limits_0^1 f_n(x)\: \text{d}x.\]

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère
$\mathcal{R}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_n \geqslant 0$ et donner une  interprétation géométrique de $u_n$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, et pour tout $x \in [0~;~1],$
		
$f_n(x) \leqslant \dfrac{1}{n!}x^n.$
		\item En déduire l'encadrement : pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_n \leqslant 
\dfrac{1}{(n +	1)!}$,\, puis la limite de $u_n$.
		\item Déduire enfin que : ~$\text{e} = 	\displaystyle\lim_{n \to +~\infty} \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \right).$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}