\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S juin 2004}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\parbox[l]{0.55\textwidth}{
\textbf{1.} La fonction $f$ représentée (graphique 1) par la courbe 
$(\mathcal{C})$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =  (ax + b)\ln x\]

où $a$ et $b$ sont deux constantes que l'on calculera dans la suite de cette 
question.

Sur le graphique 1 sont placés les points A(1 ; 0), B(2 ; 0) et 
E$(0~;~-1)$.

Les points A et B appartiennent à la courbe $(\mathcal{C})$, la droite 
(AE) est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en A.

\textbf{a.} Donner par lecture graphique $f(2)$ et $f'(1)$.

\textbf{b.} En déduire que $a$ et $b$ sont solutions du système 
$\left\{\begin{array}{l c l}
a+b		&=&1\\
2a + b 	&=&0\\
\end{array}\right.$\\
\textbf{c.} Déterminer $a$ et $b$.} \hfill
\parbox[l]{0.35\textwidth}{\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](1,0){A} \uput[ur](2,0){B} \uput[dr](0,-1){E}
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\rput(3.5,-1.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{3.6}{2 x sub x ln mul}
\psline(-0.2,-1.2)(4,3)
\rput(2,-2.1){graphique 1}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\parbox[l]{0.55\textwidth}{\textbf{2.} Soit $G$ une primitive de
la fonction $f$ représentée par la courbe $(\mathcal{C})$
du graphique 1.

Parmi les trois courbes 
$(\mathcal{C}_{1}),\:(\mathcal{C}_{2}),\:(\mathcal{C}_{3})$  proposées sur le
graphique 2, quelle est la seule qui peut représenter $G$ dans le repère 
\Oij{} ? Justifier votre réponse.} \hfill
\parbox[l]{0.35\textwidth}{\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.12}{4}{2 x mul 0.5 x 2 exp mul sub x ln mul x 2 mul sub 0.25 
x 2 exp mul add 3.75 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{x 2 exp 3 x mul sub 3 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{3 x mul x 2 exp sub 2 sub}
\rput(3.4,3.1){\red $(\mathcal{C}_{1})$} 
\rput(3.4,1.6){\blue $(\mathcal{C}_{2})$} 
\rput(3.3,-1.9){$(\mathcal{C}_{3})$} 
\rput(2,-2.1){graphique 2}
\end{pspicture}}

\vspace{0,8cm}

\textbf{3.} On admet à partir de maintenant
que $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 2\ln x - x \ln x.\]

Le but de la question est de calculer une intégrale.

Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[F(x) = \left(2x- \dfrac{1}{2}x^2\right)\ln x - 2x + 
\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{15}{4}.\]

\textbf{a.} Démontrer que la fonction $F$ est la primitive de $f$ qui prend la valeur 2 pour
$x = 1$.

\textbf{b.} Calculer $\displaystyle\int_{1}^2  f(x)\:\text{d}x$. Donner une interprétation
géométrique de cette intégrale.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} (pour les candidats n'ayant pas fait la spécialité 
\hfill 5 points}

\medskip

Lors d'une kermesse, dans un stand sont disposées trois roues. Chaque roue est 
divisée en douze secteurs de même aire. Une roue étant lancée, elle s'arrête 
aléatoirement face à la flèche  sur un seul secteur. On admettra que tous les 
secteurs ont la même probabilité  d'être \og tirés \fg. 

Pour participer, un joueur choisit l'une des trois roues, acquitte la mise 
correspondant à la roue choisie, puis lance cette roue. 

Si le secteur \og tiré \fg{} est grisé, le joueur reçoit le gain correspondant 
à la roue choisie.

\begin{center} 
\begin{pspicture}(12,4.8)
\psframe(4,4.8) \psframe(4,4.8)(8,0) \psframe(8,0)(12,4.8)
\rput(0.5,4.3){R1} \rput(4.5,4.3){R2}  \rput(8.5,4.3){R3}
\pscircle(2,2.4){1.2} \pscircle(6,2.4){1.2} \pscircle(10,2.4){1.2}
\pswedge(2,2.4){1.2}{0}{30}
\pswedge(2,2.4){1.2}{30}{60}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2.4){1.2}{60}{90}
\pswedge(2,2.4){1.2}{90}{120}
\pswedge(2,2.4){1.2}{120}{150}
\pswedge(2,2.4){1.2}{150}{180}
\pswedge(2,2.4){1.2}{180}{210}
\pswedge(2,2.4){1.2}{210}{240}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2.4){1.2}{240}{270}
\pswedge(2,2.4){1.2}{270}{300}
\pswedge(2,2.4){1.2}{300}{330}
\pswedge(2,2.4){1.2}{330}{360}
\pswedge(6,2.4){1.2}{0}{30}
\pswedge(6,2.4){1.2}{30}{60}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,2.4){1.2}{60}{90}
\pswedge(6,2.4){1.2}{90}{120}
\pswedge(6,2.4){1.2}{120}{150}
\pswedge(6,2.4){1.2}{150}{180}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,2.4){1.2}{180}{210}
\pswedge(6,2.4){1.2}{210}{240}
\pswedge(6,2.4){1.2}{240}{270}
\pswedge(6,2.4){1.2}{270}{300}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,2.4){1.2}{300}{330}
\pswedge(6,2.4){1.2}{330}{360}
\pswedge(10,2.4){1.2}{0}{30}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{30}{60}
\pswedge(10,2.4){1.2}{60}{90}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{90}{120}
\pswedge(10,2.4){1.2}{120}{150}
\pswedge(10,2.4){1.2}{150}{180}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{180}{210}
\pswedge(10,2.4){1.2}{210}{240}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{240}{270}
\pswedge(10,2.4){1.2}{270}{300}
\pswedge(10,2.4){1.2}{300}{330}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,2.4){1.2}{330}{360}
\psline{->}(2.8,4.7)(2.4,3.8) \psline{->}(6.8,4.7)(6.4,3.8) 
\psline{->}(10.8,4.7)(10.4,3.8)
\rput(2,1){mise : 1,50 \euro} \rput(2,0.5){gain : 8 \euro}
\rput(6,1){mise : 1 \euro} \rput(6,0.5){gain : 4 \euro}
\rput(10,1){mise : 1 \euro} \rput(10,0.5){gain : 2 \euro}
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le gain algébrique du joueur, noté $g$, est le gain de la loterie diminué de la mise. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour un joueur qui a choisi la roue R1, calculer la probabilité de gagner 6,50~\euro, puis celle de perdre 1,50~\euro. En déduire le gain algébrique moyen espéré  par tout joueur qui fait le choix de cette roue.
		\item Un joueur dit \og avec la roue R2, le jeu est équitable \fg. Qu'en pensez-vous ?
	\end{enumerate}
\item Les organisateurs de la kermesse remarquent que $\dfrac{1}{6}$ des joueurs ont choisi la roue R1, $\dfrac{1}{3}$ la roue R2 et les
autres la roue R3.

On interroge au hasard une personne qui a participé au jeu.

Soit les évènements :

$A$ : \og La personne a choisi la roue R1 \fg,

$B$ : \og La personne a choisi la roue R2 \fg,

$C$ : \og La personne a choisi la roue R3 \fg,

$G$ : \og La personne a gagné \fg{} (c'est-à-dire qu'un secteur grisé a été \og tiré \fg).
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité des évènements $A$ et $B$. En déduire la probabilité de l'évènement $C$.
		\item Préciser les valeurs de : $p_{A}(G)$,\: $p_{B}(G)$ et $p(G)$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og La personne a choisi la roue R2 et elle a gagné \fg{} (on pourra traduire les données l'aide d'un arbre pondéré).
		\item Démontrer que la probabilité de l'évènement : \og La personne a gagné \fg{} est égale à $\dfrac{23}{72}$. 
		\item Sachant que la personne n'a pas gagné, quelle est la probabilité qu'elle ait joué avec la roue R3 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} (pour les candidats ayant fait la spécialité  \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On note G le graphe représenté ci-dessous et $M$ sa matrice obtenue en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique. La matrice $M^3$ est également donnée.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,7)\cnodeput(0,2){B}{b} 
 \cnodeput(1.8,6.5){C}{c} \cnodeput(5.9,6.5){G}{g} 
 \cnodeput(6.7,3.3){F}{f} 
 \cnodeput(5.5,2){E}{e} \cnodeput(9,2){H}{h} \cnodeput(6.7,0){D}{d} 
 \cnodeput(2.5,0){A}{a}
 \ncarc{B}{C} \ncarc{B}{A} \ncarc{A}{C} \ncarc{A}{G} 
 \ncarc{A}{E} \ncarc{E}{C} \ncarc{G}{E} \ncarc{H}{G} 
 \ncarc{H}{F} \ncarc{H}{D} \ncarc{E}{D} \ncarc{A}{D}
 \ncarc{C}{G} \ncarc{F}{E}
\end{pspicture} 
 
\vspace{0,8cm}

$M^3 = \begin{pmatrix}
10 &8 &11& 10& 12& 5& 13& 4\\
8   & 2&  7& 3& 5& 2 & 4 & 3\\
11 & 7& 8& 6& 12&  3& 10&  5\\
10 &  3& 6& 2& 11&  1& 4 & 8\\
12 & 5& 12& 11& 8 & 8& 13& 3\\
5   & 2& 3& 1&	8 &0 &2 &6\\
13 & 4& 10& 4& 13&  2&  6&  9\\
4   &  3& 5& 8& 3& 6& 9&  0\\
\end{pmatrix}$
\end{center}

Dire, en justifiant votre réponse, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : 
\begin{enumerate}
\item L'ordre du graphe est égal au plus grand des degrés des sommets. 
\item Le graphe G contient un sous-graphe complet d'ordre 3. 
\item Les sommets de G peuvent être coloriés avec trois couleurs sans que deux
 sommets adjacents soient de même couleur. 
\item Il est possible de parcourir ce graphe en passant une fois et une seule par chaque arête. 
\item Il existe au moins un chemin de longueur 3 qui relie chaque sommet à chacun des sept autres sommets du graphe. 
\item il y a 72 chemins de longueur 3 qui relient le sommet e à chacun des huit sommets du graphe. 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le graphe précédent représente un réseau de lignes d'autobus. Les sommets du
 graphe désignent les arrêts. Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minutes, entre deux arrêts (correspondances comprises).

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,7)\cnodeput(0,2){B}{b} 
\cnodeput(1.8,6.5){C}{c} \cnodeput(5.9,6.5){G}{g} 
\cnodeput(6.7,3.3){F}{f} 
\cnodeput(5.5,2){E}{e} \cnodeput(9,2){H}{h} \cnodeput(6.7,0){D}{d} 
\cnodeput(2.5,0){A}{a}
\ncarc{B}{C} \mput*{5} 
\ncarc{B}{A} \mput*{3}
\ncarc{A}{C} \mput*{11}
\ncarc{A}{G} \mput*{20}
\ncarc{A}{E} \mput*{16}
\ncarc{E}{C} \mput*{6}
\ncarc{G}{E} \mput*{6}
\ncarc{H}{G} \mput*{11}
\ncarc{H}{F} \mput*{4}
\ncarc{H}{D} \mput*{9}
\ncarc{E}{D} \mput*{3}
\ncarc{A}{D} \mput*{17}
\ncarc{A}{G} \mput*{20}
\ncarc{F}{E} \mput*{7}
\ncarc{C}{G} \mput*{7} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

Déterminer, à l'aide d'un algorithme, la durée minimum pour aller de l'arrêt a
 à l'arrêt h et donner ce trajet.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 Commun à tous les candidats} \hfill 4 points}

Le tableau suivant donne en France le nombre de centenaires au 1\up{er} janvier des années indiquées.
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&1950	&1960	&1970		&1980		&1990		&1998		&2003\\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année		&0		&10		&20			&30			&40			&48			&53\\ \hline
Nombre $y_{i}$ de centenaires&200	&977	&\np{1122}	&\np{1545}	&\np{3760}	&\np{6840}	& 
12\:871\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre de centenaires entre le premier janvier 1950 et le premier janvier 1980 ?
		\item Peut-on affirmer que le nombre de centenaires a augmenté en 
moyenne de près de $10\,\%$ par an entre le premier janvier 1990 et le premier 
janvier 2003 ?
	\end{enumerate}
\item Le nuage de points de la série statistique $\left(x_{i},~y_{i}\right)$ est représenté ci-dessous, ainsi que la droite D d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

\begin{center} 
\psset{xunit=1.2mm,yunit=0.005mm} 
\begin{pspicture}(-10,-1000)(90,16000)
\multido{\n=0+2000}{8}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=15000]{->}(0,0)(80,14000)
\psdots(0,200)(10,977)(20,1122)(30,1545)(40,3760)(48,6840)(53,12871)
\multido{\n=0+20}{5}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](\n,0)(\n,14000)}
\multido{\n=0+1000}{15}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0,\n)(80,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt](9,0)(65,11000)
\rput(40,-1500){\footnotesize rang de l'année}
\rput{90}(-10,8000){\footnotesize nombre de centenaires}
\end{pspicture}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

En utilisant le graphique préciser le nombre de centenaires que l'on peut, avec cet ajustement, prévoir au premier janvier 2010. Ce nombre semble-t-il réaliste par rapport aux valeurs observées ?
\item L'allure du nuage de points invite à chercher un ajustement exponentiel. À  cette fin, on pose $z = \ln \left(y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau où les nombres seront arrondis à $10^{-4}$ près.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_{i}$ de l'année	& 0 &10	&20	&30	&40	&48	&53\\ \hline
$z_{i} = \ln (y_{i})$ 	& 	& 	& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip

		\item En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ (les coefficients seront arrondis à $10^{-4}$ près).
		\item En déduire une estimation du nombre de centenaires que l'on peut, avec cet ajustement exponentiel, prévoir au premier janvier 2010.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4 Commun à tous les candidats} \hfill 6 points}

\medskip
 
Une entreprise décide, pour la promotion de nouveaux produits, de mener une 
campagne publicitaire. Elle envisage la distribution d'un dépliant aux consommateurs.

Le but de l'exercice est de déterminer le nombre d'envois permettant à l'entreprise de réaliser un bénéfice maximal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $R$ définie sur $[0~ ;~ + \infty[$ par 

\[R(x) = x \text{e}^{-0,1x + 0,1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $R'(x) = (1 - 0,1x)\text{e}^{-0,1x + 0,1}$ , où $R'$  désigne la fonction dérivée de $R$. 
		\item \'Etudier les variations de $R$, puis dresser son tableau de 
variations. 

On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} R(x) = 0.$
	\end{enumerate}
\item Une étude préalable a montré que le montant total, en milliers d'euros, des recettes attendues à l'issue de cette campagne peut être estimé par 
$R(x)$, pour $x \in [1~;~15]$, où $x$ représente le nombre
d'envoi en milliers.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter $R$ sur l'intervalle [1 ; 15] (unités graphiques : 1 cm  pour un millier d'envois sur l'axe des abscisses et 1 cm pour un millier d'euros sur l'axe des ordonnées).
		\item Le coût total en milliers d'euros de cette campagne est $C(x) =  0,4 + 0,3x$  pour $x \in [1~;~15]$.

Représenter cette fonction dans le même repère que celui utilisé pour 
la fonction $R$.
	\end{enumerate}
\item Le bénéfice envisagé à l'issue de cette campagne publicitaire est donné 
par $B(x) = R(x) - C(x)$ pour tout réel $x$ de [1~;~15].
	\begin{enumerate}
		\item Donner, avec la seule précision que l'on peut obtenir par lecture graphique,
les valeurs de $x$ qui assurent un bénéfice positif.
		\item On nomme $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. 
		
Établir que $B'(x) = (1 -0,1x)\text{e}^{- 0,1x + 0,1} - 0,3$.
		\item Soit $B''$ la fonction dérivée de $B'$. Voici la courbe représentative de $B''$  telle qu'elle apparaît à l'écran d'une calculatrice graphique. 

L'axe des abscisses est gradué de 1 en 1 depuis 0 jusqu'à 15. L'axe des ordonnées est gradué de 0,1 en 0,1 de $- 0,2$ à 0,1.

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=11cm} \begin{pspicture}(0,-0.2)(15,0.1)
\psframe(0,-0.22)(16,0.11)
\psline(1,0)(16,0)
\psline(0.05,-0.2)(0.05,0.1)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline(\n,0)(\n,0.01)}
\multido{\r=-0.2+0.1}{4}{\psline(0,\r)(0.5,\r)}
\psplot{1}{15}{2.71828 0.1 0.1 x mul sub exp 0.01 x mul 0.2 
sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}
    
Donner par lecture graphique le signe de $B''$ puis dresser le tableau 
de variations de $B'$ sur [1~;~15].
		\item En déduire que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution 
$\alpha$ dans [1~;~15], dont on donnera, à l'aide de la calculatrice, la valeur arrondie à $10^{-2}$.
		\item Déterminer, sur [1~;~15], le signe de $B'(x)$.
	\end{enumerate}
\item Quel est le nombre d'envois, arrondi à la dizaine près, nécessaire 
pour obtenir un bénéfice maximal ? Que  vaut alors ce bénéfice ?
\end{enumerate}
\end{document}
