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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small La Réunion}
\rfoot{\small juin 1997}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 1997~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$  par 

\[f(x) = a \ln (x) + bx + c\]

où $a,\: b,\: c$ désignent des nombres réels que l'on cherche à déterminer. 

La courbe (C) représente la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-7)(11,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-6.9)(11,4.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{9.5}{x ln 3 mul 2 x mul sub 5 add}
\psline(-2,3.2164)(10,3.2164)
\psline(1.5,0)(1.5,3.2164)
\psline(-2,0)(2.5,4.5)
\psdots(1,3)(-2,0)
\uput[l](1,3){A} \uput[ul](-2,0){B}\uput[u](1.8,3.8){(T)}\uput[ur](3.75,1.4){(C)}
\end{pspicture*}
\end{center}

Il est précisé que :

\begin{itemize}
\item le point A(1~;~3) appartient à (C) ;
\item la droite T, tangente à (C) au point A, passe par le point B$(-2~;~0)$ ;
\item $f$ admet un maximum en $x = \dfrac{3}{2}$ et la tangente à (C) au point d'abscisse
$\dfrac{3}{2}$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
		\item À l'aide des informations fournies, démontrer que les réels $a$ et $b$ vérifient le système 
		
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
a + b &=& 1\\
2a + 3b &=& 0
		\end{array}\right.\]
		
En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
		\item Démontrer que $c = 5$.
 	\end{enumerate}
\item  On pose $g(x) = x(3 \ln (x) - x + 2)$ pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire de la partie du
plan comprise entre (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 1$
et $x = 3$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

On s'intéresse dans cet exercice aux abonnés d'un magazine. Une enquête
porte sur les abonnés de l'année en cours. Ils sont de deux types :

\begin{itemize}
\item les nouveaux abonnés (25\,\%);
\item les anciens abonnés (75\,\%).
\end{itemize}

Cette enquête a démontré que ces abonnés ont choisi l'une des deux formules
dans les proportions suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Nouveaux abonnés 	&Anciens abonnés\\ \hline
Abonnement de 6 mois	& 37\,\% 			&28\,\%\\ \hline
Abonnement d'un an 		&63\,\% 			&72\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Un sondage téléphonique est effectué auprès des lecteurs abonnés.

On désigne par $N$ l'évènement: \og le lecteur interrogé est un nouvel abonné \fg.

On désigne par $S$ l'évènement: \og le lecteur interrogé a souscrit un abonnement
de 6 mois\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des évènements :

\begin{itemize}
\item A : \og le lecteur est un nouvel abonné et a souscrit l'abonnement d'un an \fg{} ;
\item B : \og le lecteur est un ancien abonné et a choisi l'abonnement de 6 mois\fg{} ;
\item C : \og le lecteur s'est abonné pour un an \fg.
\end{itemize}
\item  D'après les estimations, 40\,\% des nouveaux abonnés et 80\,\% de
anciens reprendront un abonnement une fois terminé l'abonnement en
cours.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité qu'un lecteur abonné se réabonne est égale
à $0,7$.
		\item Sachant que le lecteur interrogé se réabonne, quelle est la probabilité
qu'il fasse partie des nouveaux abonnés ? (Donner la valeur exacte)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Voici la liste des quinze pays composant l'Union européenne avec, pour
chacun d'eux, la date d'entrée dans l'Union :

Allemagne (1958) ; Autriche (1995) ; Belgique (1958) ; Danemark (1973) ;
Espagne (1986) ; Finlande (1995) ; France (1958) ; Grèce (1981) ; Irlande
(1973) ; Italie (1958) ; Luxembourg (1958) ; Pays-Bas (1958) ; Portugal
(1986) ; Royaume-Uni (1973) ; Suède (1995).

Pour représenter l'Union européenne à une conférence internationale, on
décide de choisir au hasard deux pays délégués. Pour cela, on place dans
une urne quinze jetons portant chacun le nom d'un pays de l'Union et on
tire simultanément deux jetons de l'urne.

Les résultats des questions 1, 2 et 3 seront donnés sous forme fractionnaire,
les résultats de la question 4 seront donnés sous forme décimale arrondie à
$10^{- 3}$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour que la France soit choisie ?
\item Sachant que les deux pays choisis font partie de l'Union depuis 1958,
quelle est la probabilité pour que la France soit choisie ?
\item Soit $X$ la variable aléatoire associant, à chaque tirage de deux jetons, le
nombre de pays faisant partie de l'Union depuis 1958.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
 	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on choisit les délégués pour les cinq prochaines
années. Pour cela on tire au hasard cinq fois de suite. deux jetons simultanément,
les jetons étant remis dans l'urne avant chaque nouveau tirage.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que la France fasse partie de la délégation
deux années exactement ?
		\item Quelle est la probabilité pour que la France fasse partie de la délégation
au moins une année ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous rend compte de l'évolution de la population d'une ville
moyenne au cours des cinq dernières années :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 										&1992 	&1993 	&1994 	&1995 	&1996\\ \hline
Rang  : $x_i$ 								&0 		&1 		&2 		&3 		&4\\ \hline
Nombre d'habitants (en milliers) :  $z_i$	&58 	&59,04 	&59,88 	&60,55 	&61,1\\ \hline
$y_i = z_i - 58$							& 0 	&1,04 	&1,88 	&2,55 	&3,1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unités graphiques, 
2,5~cm pour une unité en abscisse et 2,5~cm pour 1 millier d'habitants en
ordonnée. 

On construira sur le même dessin les différentes représentation
graphiques demandées dans ce problème.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associés à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à $10^{- 2}$ près une valeur approchée du coefficient de corrélation
linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ (on ne donnera pas le détail des calculs).
		
Expliquer pourquoi un ajustement linéaire semble justifié ici.
		\item Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$, droite de régression de $y$ en $x$,
et construire cette droite.
		\item Calculer une estimation de la population de cette ville pour l'année
1998.
	\end{enumerate}
\item  On appelle taux annuel de croissance pour l'année $n$, le pourcentage
d'accroissement de la population entre l'année $n$ et l'année $n + 1$. 
	
Calculer, en arrondissant à $10^{- 2}$ près les taux annuels de croissance pour 1992,
1993, 1994 et 1995.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une modélisation prenant en compte une évolution du taux annuel de
croissance analogue à celle des quatre dernières années amène à envisager
la fonction $f$ définie par :

\[f(x) = 5,3\left(1 - \text{e}^{x \ln 0,8}\right)\]

pour $x \in  [0~;~+ \infty[$.

Selon ce modèle, pour une valeur entière de $x,\:f(x) + 58$ représente la population
pour l'année $1992 + x$ (en milliers d'habitants).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que :
		
$f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
		
En déduire l'existence d'une asymptote (D) à la courbe (C)
représentant la fonction $f$.

Donner l'équation réduite de cette droite.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
		\item Construire la courbe (C) et la droite (D) sur le dessin de la partie A.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'étude précédente, conclure sur la façon selon laquelle évolue
la population de la ville suivant ce modèle.
		\item Donner une estimation de la population pour 1998 à 10 habitants près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}