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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small La Réunion}
\rfoot{\small juin 1998}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion  juin 1998~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour se rendre au lycée, Frédéric a le choix entre deux itinéraires A
 ou B. La probabilité qu'il choisisse l'itinéraire A est $\dfrac{1}{3}$.
 
La probabilité qu'il arrive en retard sachant qu'il emprunte l'itinéraire A 
est $\dfrac{2}{5}$ ; celle qu'il arrive en retard sachant qu'il emprunte
 l'itinéraire B est $\dfrac{3}{10}$.
 
On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que Frédéric choisisse  l'itinéraire B ?
		\item Sachant qu'il choisit l'itinéraire A, quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure ?
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure au lycée et qu'il ait choisi l'itinéraire A ?
\item Quelle est la probabilité que Frédéric arrive à l'heure au lycée ?
\item Sachant que Frédéric est arrivé à l'heure au lycée, quelle est la probabilité qu'il ait emprunté l'itinéraire B ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]- 4~;~2[$ par : 

\[g(x) = \dfrac{a}{x  +  4}  +	\dfrac{b}{x - 2},\]

où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
 
Sa courbe représentative dans un repère donné passe par A $\left(0~;~	
\dfrac{3}{4}\right)$ et admet au point d'abscisse - 1 une tangente parallèle à
 l'axe des abscisses.
 
Déterminer les réels $a$ et $b$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur
$]- 4~;~2[$ par : 

\[f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 4}{2 - x}\right).\]

Elle est représentée ci-dessous dans un repère orthonormal : 

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-4,-3.1)(2,3.1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-3)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psclip{
\pscustom[linestyle=none]{
\psline(-1,0)(0,0)(0,0.694)}
\pscustom[linestyle=none]{%  
\pscurve(-1,0)(-0.5,0.33647)(0,0.69315)}
}
\psframe*[linecolor=gray](-1,0)(0,0)
\endpsclip
\psline[linewidth=1.5pt,fillstyle=vlines*](-1,0)(0,0)(0,0.694)
%\pscurve[linewidth=1.5pt,fillstyle=vlines*](-1,0)(-0.5,0.33647)(0,0.69315)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.7}{1.7}{x 4 add 2 x sub div ln}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle ]- 4 ; 2[, l'égalité
suivante est vraie $f'(x) = g(x)$.\\
		\item On considère la fonction $F$ définie sur ]- 4 ; 2[ par :
$$F(x) = (x + 4) \ln (x + 4) - (x - 2) \ln (2 - x).$$
Calculer $F'(x)$.\\
		\item En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du
domaine hachuré sur la figure.\\ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 2\hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

En 1990, un pays avait une population de 50 millions  d'habitants.

Par accroissement naturel, sa population augmente de 1,5\:\% par an. Par ailleurs, on constate une augmentation supplémentaire de 450\:000 habitants par an, due à l'immigration.

L'unité est le million d'habitants.

On note $u_{0} = 50$ le nombre d'habitants en 1990 (exprimé en millions 
d'habitants), et $u_{n}$ le nombre d'habitants en (1990 + $n$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
	\end{enumerate}
\item On se propose de prévoir directement la population en 2010 si le modèle d'évolution se poursuit de la même façoon.
 
Pour cela on considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : $v_{n} = u_{n} + 30$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_{0}$,\:$ v_{1}$ et $v_{2}$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
		\item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.
En déduire alors la population de ce pays en l'an 2010. On donnera le résultat
arrondi au million d'habitants.
	\end{enumerate}
\item Déterminer par le calcul en quelle année la population de ce pays dépassera 100 millions d'habitants si l'évolution se poursuit ainsi.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill  11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions $f$ et $g$
définies sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f(x) = \dfrac{x^3 + x}{2}\qquad g(x) = \dfrac{\text{e}^x -1 + x}{\text{e}}\]

Étudier le sens de variation des fonctions $f$ et $g$ sur [0~;~1]. 
\item Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~1] par : $h(x) = x - g(x).$
étudier les variations de $h$ et en déduire le signe de $h(x)$ sur [0~;~1].
\item On considère un repère orthonormal. On
prendra pour unité graphique 10 cm sur chaque axe. 
On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes
représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans ce repère.
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :
\begin{center}		
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& 0&0,2 	&0,5	&0,7& 1 \\ \hline
$f(x)$	&  &   		&   	&  	&  \\ \hline
$g(x)$	&  &    	&  		&  	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
On donnera les valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près.
		\item Représenter dans le repère donné, les courbes $\mathcal{C}_{f}$ 
et  $\mathcal{C}_{g}$ et tracer la droite d'équation $y = x$.
\item Calculer l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan
comprise entre la droite d'équation $y = x$ et la courbe représentative 
de $g$. En donner une valeur décimale approchée à 0,01 près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La courbe ci-dessous, appelée \textbf{courbe de Lorentz},
représente une fonction $m$, définie sur l'intervalle [0 ; 1]. Elle illustre
la répartition des richesses d'un pays donné.
 
\begin{center}
\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(11,11)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.3pt](0,0)(11,11)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(10,10)
\psclip{
\pscustom[linestyle=none]{
\psline(0,0)(10,10)}
\pscustom[linestyle=none]{  
\pscurve(0,0)(1,0.3)(2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(7,6)(8,7.2)(9,8.4)(10,10)}}
\psframe*[linecolor=gray](0,0)(10,10)
\endpsclip
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(10,10)
\pscurve[linewidth=1.5pt,fillstyle=vlines*](0,0)(1,0.3)(2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(7,6)(8,7.2)(9,8.4)(10,10)
\rput(-2,10){(100 \%)~1} \rput(-2,3){(30 \%)~0,3} \rput(4,-1.5){(40 \%)}
\rput(4,-1){0,4} \rput(10,-1.5){(100 \%)} \rput(10,-1){1}
\rput{45}(9,9.3){$y = x$}  \rput{48}(9,7){$y = m(x)$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.3pt] 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,75cm}

En abscisses $x$ représente le pourcentage des personnes les plus
pauvres par rapport à la population totale et en ordonnées $m(x)$ représente
le pourcentage des richesses totales qu'ils possèdent.

Par exemple, 40\,\% des personnes en partant des plus pauvres possèdent 
30\,\% des richesses totales.
 
Les courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{g}$ de la première partie sont
respectivement les courbes de Lorentz pour un pays F et un pays G. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par le calcul ou graphiquement, pour chacun de ces deux pays le pourcentage des richesses
possédées par 50\,\% des personnes en partant des plus pauvres.
		\item Parmi ces deux pays, quel est celui pour lequel les richesses sont
réparties de la manière la plus égalitaire ?
	\end{enumerate}
\item On appelle \textbf{coefficient de Gini} le nombre 2A, où A est l'aire, en unités d'aire, du domaine hachuré sur la figure. Le coefficient de Gini évalue le degré d'inégalité de la 
répartition des richesses.
 
Calculer le coefficient de Gini pour chacun des pays F et G.
\end{enumerate}
\end{document}