\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tabularx}  
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2003}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 2003~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill }

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Les membres d'un club sportif se présentent à l'accueil soit pour jouer au golf soit pour profiter de la salle de musculation (une activité excluant l'autre).

La probabilité qu'il ne pleuve pas, en automne, dans cette région est égale à $0,8$. En automne un membre se présente.

S'il pleut, il joue au golf dans 30\,\% des cas.

S'il ne pleut pas, il s'enferme dans la salle de musculation dans 20\,\% des cas.

 On note B l'évènement \og il pleut \fg,
 
G l'évènement \og le membre du club joue au golf \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Traduire la situation ci-dessus à l'aide d'un arbre pondéré.
		\item Démontrer que la probabilité de l'évènement G est égale à $0,7$.
		\item Déterminer la probabilité qu'il pleuve sachant que le membre du club se présentant à l'accueil ne joue pas au golf.
	\end{enumerate}
\item Trois membres se présentent successivement et indépendamment le uns des autres. On suppose que, pour chacun des trois, la probabilité qu'il joue au golf est $0,7$.

 On s'intéresse au nombre de golfeurs parmi ces trois personnes.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant un arbre pondéré, montrer que la probabilité $p_{2}$ que deux membres exactement jouent au golf est de $0,441$. 
		\item Établir la loi de probabilité associée à cette situation. 
		\item Déterminer l'espérance mathématique et interpréter le résultat obtenu. 
		\item Déterminer la probabilité qu'au moins un des trois membres ne joue pas au golf.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\bigskip

La courbe $(\mathcal{C})$, donnée ci-après, est la courbe représentative d’une fonction $h$ définie sur [0~;~5]. Le point A a pour coordonnées (0~;~2).

La droite (T) est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(5.2,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,linewidth=1pt](-1,-2)(5.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-0.5,-1.5)(5.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](0,2){A}\uput[ul](4.8,2.5){$(\mathcal{C})$}
\uput[ur](3,-1){T}\uput[d](2.414,0){\small $1 + \sqrt{2}$}
\psline[linewidth=0.2pt](2.414,0)(2.414,0.13)
\psplot{0}{3.5}{2 x sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x dup mul 0.5 mul 3 x mul sub 2 add x 1 add ln 2 mul add}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Préciser $h(0)$.

Déterminer à l’aide d’une lecture graphique le nombre dérivé $h'(0)$. (Justifier la réponse).
\item  La fonction $h$, définie sur [0~;~5] est de la forme :

\[h(x)=ax^2 + bx + c + 2 \ln (x + 1)\]

 où $a, b$ et $c$ sont des nombres réels.
 
On note $h'$ la dérivée de la fonction $h$.
 
Exprimer $h'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item  On note $h'(3) = \dfrac{1}{2}$.
 
En utilisant ce résultat et les résultats de la question \textbf{1.}, déterminer chacune des valeurs $a, b$ et~$c$.
\item  En utilisant la représentation graphique de la fonction $h$, donner, en justifiant, le signe de $h'(x)$.
\item  Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~5] par : $g(x) = \dfrac{1}{h(x)}$.

Déterminer le sens de variation de la fonction $g$.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\bigskip
 
Une grande surface est conçue de telle façon que six secteurs (alimentation, hi-fi, etc.) notés A, B, C, D, E, F sont reliés par des allées selon le graphe ci-dessous.
\bigskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(9,2.5)
\pspolygon(0,0)(9,0)(3,2.5)
\psline(0,0)(3,2.5)(6,2.5)(3,0)
\psline(0,0)(6,2.5)(6,0)
\psline(3,0)(3,2.5)
\uput[d](0,0){E} \uput[d](3,0){A} \uput[d](6,0){B} 
\uput[d](9,0){F} \uput[u](6,2.5){C} \uput[u](3,2.5){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Secteur&	A&	B&	C&	D&	E&	F\\ \hline
Degré&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Le graphe $\mathcal{G}$ est connexe. Pourquoi ?
	\end{enumerate} 
\item Un visiteur désire parcourir l'ensemble des allées en ne passant par celles-ci qu'une seule fois.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que son souhait est réalisable.
		\item Donner un exemple d'un tel parcours.
	\end{enumerate}
\item Le directeur désire associer chaque secteur à une couleur de sorte que
deux secteurs (sommets) ne portent pas la même couleur.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le nombre chromatique $n$ du graphe vérifie $n \geqslant 4$.
		\item Expliquer pourquoi $n \leqslant 5$.
		\item Proposer un coloriage du graphe permettant de déterminer son nombre chromatique.
	\end{enumerate}
\item Une famille se trouve dans le secteur E et doit se rendre dans le secteur F. Cela étant, les parents connaissent suffisamment les allées pour savoir que, pour chacune d'elles, les enfants ne résistant pas, il leur faudra
débourser une somme (en euros) précisée dans le graphe ci-dessous.

\bigskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(9,2.5)
\pspolygon(0,0)(9,0)(3,2.5)
\psline(0,0)(3,2.5)(6,2.5)(3,0)
\psline(0,0)(6,2.5)(6,0)
\psline(3,0)(3,2.5)
\uput[d](0,0){E} \uput[d](3,0){A} \uput[d](6,0){B} 
\uput[d](9,0){F} \uput[u](6,2.5){C} \uput[u](3,2.5){D}
\uput[d](1.5,0){30}  \uput[d](4.5,0){40}  \uput[d](7.5,0){20}  
\uput[d](1.6,1.2){40}  \uput[u](4.3,1.1){10}  \uput[l](6,0.8){20}  
\uput[d](7.5,1.2){70}  \uput[u](1.3,1.1){10}  \uput[l](3,1.5){10}  
\uput[u](4.5,2.5){40}  
\end{pspicture}
 \end{center}

\bigskip
 
(AB =  40 ; AC =  10 ; AD =  10 ; AE = 30 ; BC =  20 ; BF = 20 ; CD = 40 ; CE = 40 ;

 DE = 10 ; DF = 70)

Indiquer une chaîne qui minimise la dépense de cette famille.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill}

\bigskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = 15(0,4 - x)\text{e}^{-x}\]

et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = 15(x - 1,4)\text{e}^{-x}$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Établir le tableau de variations de  $f$.
	\end{enumerate} 
\item Représenter ta portion de la courbe $(\mathcal{C})$ pour $x$ compris entre $0$ et $7$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 4,5$, admet, entre $0$ et $7$, deux solutions $\alpha$ et $\beta$ (on notera $\alpha$ la plus petite des deux solutions). 
		\item Donner la valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près, en présentant brièvement la méthode utilisée. 
		\item Donner la valeur arrondie de $\beta$ à $10^{-2}$ près. 
		\item Quel est l'ensemble des solutions, dans l'intervalle [0~;~7], de l'inéquation $f(x) \leqslant  4,5$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Application}

\medskip

La fonction $f$ est la fonction coût marginal C$_{\text{M}}$ de fabrication d'un produit. $x$ est exprimé en tonnes ($x$ compris entre $0$ et $7$), et le coût est exprimé en milliers d'euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item
	  \begin{enumerate}
		\item Pour quelle production le coût marginal est-il minimum et quel est ce prix ?
		\item Pour quelles productions le coût marginal est-il inférieur à $4,5$ ? (on donnera chacune des bornes de l'intervalle à $10^{-2}$ près)
	\end{enumerate}
\item La fonction coût total C$_{\text{T}}$ est une primitive de la fonction coût marginal. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur [0~;~7] par :

\[g(x)= 15(0,4 - x)\text{e}^{-x}\quad  \text{et} \quad  h(x) = (ax+b)\text{e}^{-x}.\]
 $h'$ étant la fonction dérivée de $h$, calculer $h'(x)$ et déterminer $a$ et $b$ pour que $h$ soit une primitive de $g$. 
		\item En déduire que C$_{\text{T}}(x) = (15x + 9)\text{e}^{-x} + 6x +   k$. 
		\item Déterminer $k$ sachant que les frais fixes s'élèvent à 2 000 euros (c'est-à-dire que C$_{\text{T}}(0) = 2$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 