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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small juin 2007}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 2007~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-5~;~2]$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un logiciel fournit le graphique qui figure en annexe page 6.
 
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de $f'(0)$ où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Donner un encadrement d'amplitude $1$ de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$.
		\item  Donner une valeur approchée à $0,5$ près de la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie on sait que la fonction $f$ est définie par :
  
\[\text{Pour tout élément}\: x \:\text{de}\: [-5~;~2],\: f(x) = (2 - x) \text{e}^x\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On nomme $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour $x$ élément de $[-5~;~2]$.
		\item  Justifier l'affirmation : \og Sur l'intervalle $[-5~;~2]$, la fonction $f$ admet un maximum pour $x=1$ et ce maximum est égal à e.\fg
	\end{enumerate}
\item 	Donner une équation de la droite (T) tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse $0$.
\item 	Soit $g$ la fonction définie par : pour $x$ élément de $[-5~;~2],~ g(x)= (3 - x)\text{e}^x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la fonction dérivée de la fonction $g$.
		\item  Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] (en donner la valeur exacte).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Les deux parties sont totalement indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soient $A,\: B,\: C$ et $T$ quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note $\overline{T}$  l'évènement contraire de l'évènement $T$.

On donne l'arbre de probabilités suivant.

\medskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{$T$}\taput{0,4}
		  \TR{$\overline{T}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$~}}
	  {
		  \TR{$T$}
		  \TR{$\overline{T}$}
	  }
	\pstree{\TR{$C$~}\tbput{0,7}}
	  {
		  \TR{$T$}\taput{0,2}
		   \TR{$\overline{T}$}
	  }	
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner la probabilité $p_{A}(T)$ de l'évènement \og $T$ sachant que $A$ est réalisé \fg.
\item  Calculer : 
	\begin{enumerate}
		\item  la probabilité $p(B)$ de l'évènement $B$ ; 
		\item  la probabilité $p_{A}\left(\overline{T}\right)$ de l'évènement \og non $T$ sachant que $A$ est réalisé \fg ;
		\item  la probabilité $p(A \cap T)$ de l'évènement \og $A$ et $T$ \fg.
	\end{enumerate}
\item  On sait que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est : $p(T) = 0,3$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité $p_{T}(A)$.
		\item  Calculer la probabilité $p_{B}(T)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.85\linewidth}{Un domino est une petite plaque partagée en deux parties.

Sur chacune des parties figure une série de points.
	
Il peut y avoir de zéro à six points dans une série.

Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents. } \hfill 
\parbox{0.15\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,2.5) 
 %\psgrid
\psframe(2,1) \psframe(0,1.5)(2,2.5) \psline(1,0)(1,1) \psline(1,1.5)(1,2.5)
\qdisk(0.2,2.3){3pt} \qdisk(0.8,1.7){3pt} \qdisk(1.2,2.3){3pt} \qdisk(1.8,1.7){3pt}
\qdisk(0.2,0.8){3pt} \qdisk(0.2,0.2){3pt} \qdisk(0.8,0.8){3pt} \qdisk(0.8,0.2){3pt}
\end{pspicture}}	
Lors d'une fête, on propose le jeu suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu, 
\item  il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la loi de probabilité des gains possibles.
\item 	Le joueur doit miser 7~\euro{} avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-ii espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

\medskip

\emph{Pour chaque question, une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le nombre d'habitants d'une ville était : \np{157500} en 2002 et \np{139860} en 2006.

Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} : 11,2\,\%.&\textbf{b.} : $-12,6$\,\%.& 	\textbf{c.} :  $-11,2$\,\%.
\end{tabularx}

\medskip

\item  Effectuer une augmentation de 15\,\% suivie d'une baisse de 15\,\% revient à 
	\begin{enumerate}
		\item : ne procéder à aucune modification.
		\item : effectuer une augmentation de 2,25\,\%.
		\item : effectuer une diminution de 2,25\,\%.
	\end{enumerate}

\item On admet que le chiffre d'affaire d'une entreprise augmentera régulièrement de 3,2\,\% par an. Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité près, de :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} :  32\,\%&	\textbf{b.} : 29\,\%	&\textbf{c.}  : 37\,\%
\end{tabularx}

\medskip
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par : pour tout entier naturel $n,~u_{n} = \text{e}^{- n \ln 2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  : $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $-\ln 2$.
		\item  : $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
		\item  : $\left(u_{n}\right)$ n'est pas une suite géométrique.
	\end{enumerate}
\item On a représenté un nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~\ln v_{i}\right)$ et effectué un ajustement affine :

\medskip

\psset{unit=1cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(8,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridwidth=0.8pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=4.5,Dy=1.0]{->}(0,0)(0,0)(8,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=4.5,Dy=1.0](0,0)(0,0)(8,4)
\psdots[](1,1.03)(2,1.52)(3,1.65)(4,2.03)(5,2.4)(6,2.7)
\psline[linecolor=blue](-0.5,0.57)(8,3.4)
\uput[r](0,3.75){$y = \ln v$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
Selon cet ajustement, lorsque $x$ prendra la valeur 7, $y$ vaudra environ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} : $1,8$ &\textbf{b.} : $6,1$ &\textbf{c.} : $445$\\
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

\emph{Pour chaque question, une réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, une absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par : pour tout entier naturel $n,\:
 u_{n} = 1 - \dfrac{6}{n - 10,5}$.

	\begin{enumerate}
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas monotone.
	\end{enumerate}
\item  La suite $\left(u_{n}\right)$  est définie par :
$u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, ${u_{n+1}-u_{n}=-0,1u_{n}}$.
	\begin{enumerate}
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique.
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
		\item : La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique.
	\end{enumerate}
\item  Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item le plan (P) d'équation $x + y + z - 2 = 0$,
\item la droite (D) d'équations cartésiennes $y = 1$ et $z = 1 - x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  : La droite (D) est sécante au plan (P).
		\item  : La droite (D) est incluse dans le plan (P). 
		\item  : La droite (D) est strictement parallèle au plan (P).
	\end{enumerate}
\item  La matrice d'un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est : 

\medskip

\[\begin{pmatrix}
0	&0	&1	&0	&1\\
0	&0	& 1	& 1	&1\\
1	&1	&0	&1	&0\\
0	&1	& 1	& 0	&0\\
1	& 1	& 0	&0	&0\\
\end{pmatrix}\]

	\begin{enumerate}
		\item : Le graphe G comporte 12 arêtes.
		\item : Le graphe G admet une chaîne eulérienne.
		\item : Le graphe G est complet.
	\end{enumerate}
\item 	Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2\,\%
 chaque semaine depuis sa parution. Au cours de la première semaine il s'en était vendu dix mille exemplaires.
 
Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis
sa parution est:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} : \np{23 900}&\textbf{b.} : \np{718 927}&\textbf{c.} : \np{743 306}\\
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [1~;~50] par :

\[f(x)= x^2 + 72\ln (10x + 1)\quad  \text{et} \quad  g(x)=\dfrac{f(x)}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [1~;~50].
\item La fonction $h$ est définie sur l'intervalle [1~;~50] par :

\[h(x) = x^{2} + \dfrac{720x}{10x + 1}  - 72 \ln (10x + 1).\]

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la dérivée de la fonction $h$ est la fonction $h'$ définie par : pour tout $x$ élément de l'intervalle [1~;~50], $h'(x) = \dfrac{2x(10x -59)(10x + 61)}{(10x + 1)^2}$.
		
Résoudre l'équation $h'(x)=0$ sur l'intervalle [1~;~50].

Étudier le signe de $h'(x)$ sur l'intervalle [1~;~50].
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $h$.
		\item On admet que, dans l'intervalle [1~;~50], l'équation $h(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$. À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
		\item Expliquer pourquoi :

\setlength\parindent{5mm}		
\begin{itemize}
\item pour tout $x$ élément de l'intervalle $[1~;~\alpha],\:h(x) \leqslant  0$,
\item pour tout $x$ élément de l'intervalle $[\alpha~;~50],\: h(x) \geqslant 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}	

\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout $x$ élément de l'intervalle [1~;~50],\:$g'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$.
		\item  Démontrer que la fonction $g$ admet un minimum pour $x = \alpha$.
		\item  En utilisant le fait que $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$, exprimer $g'(x)$ en fonction de $f'(x)$ puis déduire de la question précédente que $g(\alpha)= f'(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :  application}

\medskip

 Une entreprise a conduit une étude statistique sur les coûts de production de l'un de ses produits. Pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes et des coûts exprimés en milliers d'euros, cette étude conduit à adopter le modèle mathématique suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item   le coût total de production C$_{\text{T}}$ est donné par C$_{\text{T}} = f(x)$, où $x$ est la quantité
produite exprimée en tonnes,
\item  	pour une production de $x$ tonnes, le coût moyen C$_{\text{M}}$ de production d'une tonne est donné par C$_{\text{M}} = g(x)$ et le coût marginal C de production est donné par C $=f'(x)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

(\emph{Des graphiques obtenus à l'aide d'un logiciel sont fournis en annexe $2$. Ils peuvent être complétés et rendus avec la copie.}) 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de \np{38000}~\euro{} la tonne.
\item  Quelle que soit sa production, l'entreprise pense pouvoir la vendre en totalité au prix de \np{45000} euros la tonne. Donner une estimation des productions qui pourront permettre de réaliser un bénéfice.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 1}

\bigskip

\textbf{à utiliser pour l'exercice 1 et à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.25)(3,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10,gridwidth=0.8pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgridwidth=0.4pt](0,0)(-5.5,-0.25)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,-0.25)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\uput[u](2.9,0){$x$} \uput[r](0,2.9){$y$} \uput[ur](1.6,2){\blue $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 2}

\bigskip

\textbf{à utiliser pour l'exercice 4, partie B et à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
\medskip

\psset{xunit=0.175cm,yunit=0.00275cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-250)(55,3000)
\multido{\n=0+2.5}{23}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3000)} 
\multido{\n=0+250}{13}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](0,\n)(55,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=3000]{->}(0,0)(0,0)(55,3000)
\multido{\n=0+1000}{4}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{50}{x 10 mul 1 add ln 72 mul x 2 exp add}
\uput[d](55,0){$x$} \uput[r](0,3000){$y$}

\end{pspicture}

\vspace{1.cm}

\textbf{Représentations graphiques de fonctions }\boldmath $f'$ \unboldmath \textbf{et} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

\psset{xunit=0.16cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(0,0)(70,60)
\multido{\n=0+2.5}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,60)} 
\multido{\n=0+2.5}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(70,60)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1.15}{27.5}{720 x 10 mul 1 add div 2 x mul add}
\rput(15,20){courbe de la fonction \blue $f'$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt,plotpoints=4000]{5.2}{50}{x 10 mul 1 add ln 72 mul x div x add}
\uput[d](70,0){$x$} \uput[l](0,60){$y$}
\rput(40,40){courbe de la fonction \red $g$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}