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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 22 juin 2010}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 22 juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1 + \ln (1 + x).\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. 

On note $\mathcal D$ la droite d'équation $y = x$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = f(x) - x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - 1} g(x)$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(1 + x)}{1 + x}$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$.
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$, puis dresser le tableau de variations de la fonction~$g$.
		\item Montrer que sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha$ négative et $\beta$ appartenant à l'intervalle [2~;~3].
		\item À l'aide des questions précédentes, déterminer le signe de $g(x)$. En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $\mathcal D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
u_{0}&2\\
u_{n+1}&f\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ 2 \leqslant  u_{n} \leqslant  \beta$.
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On dispose d'un dé cubique A parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges.

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires.
\item Soit l'évènement $C$ : \og à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg.

Démontrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $\dfrac{7}{18}$. 
\item Calculer la probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes.
\item À l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On dispose d'un second dé cubique B équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires.

Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé B ;

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé B et on note la couleur de la face obtenue;
\item[$\bullet~$] si la face obtenue est noire, on lance le dé A et on note la couleur de la face obtenue.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation.
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer ?
	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à $\dfrac{4}{9}$. 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

 
\textbf{Partie A}

\medskip

On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions $f$, définies et dérivables sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, vérifiant la condition (E) : 

\[\text{pour tout nombre réel $x$ strictement positif,}~ xf'(x) - f(x) = x^2\text{e}^{2x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, vérifie la condition (E), alors la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ vérifie :

\[\text{pour tout nombre réel $x$ strictement positif,}~ g'(x) = \text{e}^{2x}.\]

\item En déduire l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ qui vérifient la condition (E).
\item  Quelle est la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  qui vérifie la condition (E) et qui s'annule en $\dfrac{1}{2}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \dfrac{\text{e}}{2}x.\] 

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif $x$, le signe de $h(x)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}  x\text{e}^{2x}\:\text{d}x$ et en déduire $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}  h(x)\:\text{d}x$.
		\item En déduire, en unité d'aire, la valeur exacte de l'aire de la partie du plan située en dessous de l'axe des abscisses et au dessus de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie I : Restitution organisée de connaissances}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. 

On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C.

\medskip

On rappelle que $\left(\vect{u},~\vect{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.

\medskip

Montrer que $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. 

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 

On considère le point A d'affixe $1 + \text{i}$.

On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe

\[z' = \dfrac{z -1- \text{i}}{z}.\]

Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe i.
		\item Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $\left|z'\right| = 1$.
\item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité }

\medskip

\textbf{Partie 1 : Restitution organisée de connaissances}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip

\textbf{Prérequis :}

\medskip

On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe.

Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d'une part que les points A et C sont distincts et d'autre part que les points B et D sont distincts.

Démontrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s$(A) = B et $s$(C) = D.

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right)$ ;

$\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.

On considère le point C tel que ABCD est un carré.

Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que 

$\left(\vect{\text{ED}},~\vect{\text{EF}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l'exercice.
		\item Préciser les nombres complexes $a,~b,~c,~d,~e,~f,~g$, affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G.
		\item Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ du plan telle que \\
$s$(D) = F et $s$(B) = D.
	\end{enumerate}
\item On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe $s$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de la similitude directe $s$. 
		\item Donner l'écriture complexe de cette similitude.
		\item Déterminer, le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}