%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 22 juin 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 22 juin 2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte $1$ point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormé \Oijk.

On désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x + 3y - z + 4 = 0$ et, par A et B les points de coordonnées respectives $(1~;~2~;~-4)$ et $(-3~;~4~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique :

$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&-8 + 2t\\ 
y&=&\phantom{-}7 - t\\ 
z&=&\phantom{-}6 + t 
\end{array}\right. \, t \in \R.$

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $\mathcal{D}$ sont sécants.
\item[$\bullet~~$] Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $\mathcal{D}$ n'ont aucun point en commun.
\item[$\bullet~~$] La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
\item[$\bullet~~$] Aucune des trois affirmations précédentes n'est vraie.
\end{itemize}

\item On note $\mathcal{P}'$ le plan d'équation $x + 4y - 3z + 4 = 0$.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles et distincts.
\item[$\bullet~~$] Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont confondus.
\item[$\bullet~~$] Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur $-\vect{\imath} + \vect{\jmath} + 2\vect{k}$.
\item[$\bullet~~$] Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur $-\vect{\imath} + \vect{\jmath} + \vect{k}$.
\end{itemize}

\item L'ensemble des points $M$ de l'espace qui sont équidistants des points A et B est:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] une droite passant par le point C de coordonnées $\left(-1~;~3~;~- \dfrac{1}{2}\right)$,
\item[$\bullet~~$] une sphère de rayon $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$.
\item[$\bullet~~$] le plan d'équation $-4x + 2y + 5z - \dfrac{5}{2} =0$,
\item[$\bullet~~$] le plan d'équation $-4x + 2y + 5z + \dfrac{5}{2} =0$.
\end{itemize}

\item L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\left\|\vect{M\text{A}} - 3\vect{M\text{B}} \right\| = 5$ est :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] une sphère dont le centre a pour coordonnées $\left(- 5~;~ 5~;~\dfrac{7}{2}\right)$,
\item[$\bullet~~$] une sphère dont le centre a pour coordonnées $\left(5~;~- 5~;~- \dfrac{7}{2}\right)$,
\item[$\bullet~~$] le plan d'équation $- 4x + 2y + 5z - 5 = 0$, 
\item[$\bullet~~$] le plan d'équation $- 4x + 2y + 5z + \dfrac{5}{3} = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les trois questions peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

Un candidat participe à un jeu télévisé qui comporte deux épreuves. La première consiste à répondre à une question tirée au hasard parmi celles que l'assistante a prélevées dans une urne.

Dans la seconde, il doit répondre à une série de 10 questions sur un thème qu'il choisit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'urne contient dix bulletins indiscernables au toucher comportant chacun une question.

Toutes les questions sont différentes, quatre portent sur l'histoire, quatre portent sur la littérature et deux sur le sport.

En début d'émission, l'assistante tire au hasard et simultanément 4 bulletins de l'urne.

On note A l'évènement \og les quatre questions portent sur l'histoire \fg{} et B l'évènement \og l'une au moins des quatre questions porte sur le sport \fg.

Déterminer la probabilité des évènements A et B.
\item L'animateur annonce les thèmes sur lesquels portent les questions des quatre bulletins choisis par l'assistante. Il y a une question d'histoire, deux de littérature et une sur le sport.

Le candidat tire au hasard l'un de ces quatre bulletins.

On admet que la probabilité que sa réponse soit correcte est \np{0,7} s'il s'agit d'une question d'histoire, \np{0,6} s'il s'agit d'une question de littérature et \np{0,5} pour une question sur le sport.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[ ] $H$ : \og la question posée au candidat porte sur l'histoire \fg
\item[ ] $L$ : \og la question posée au candidat porte sur la littérature \fg
\item[ ] $S$ : \og la question posée au candidat porte sur le sport \fg
\item[ ] $C$ : \og le candidat répond correctement à la question posée \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à cette première épreuve. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $C$.
		\item Sachant que le candidat a répondu correctement, quelle est la probabilité que la question posée ait porté sur le sport ?
	\end{enumerate}
\item Le candidat a réussi cette première épreuve et choisit l'histoire comme thème pour la seconde épreuve. Les dix questions qu'on lui pose sont indépendantes et on suppose toujours que la probabilité qu'il réponde correctement à chaque question est égale à $0,7$.

On désigne par $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de bonnes réponses données par le candidat.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $k$ un entier compris entre 0 et 10.

Quelle est l'expression de la probabilité de l'évènement $\{X = k\}$ en fonction de $k$ ? On justifiera la réponse.
		\item  Déterminer la probabilité que le candidat donne au moins neuf bonnes réponses. On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 1 - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^{2x} + 1}.\] 

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathcal{C}$. Elle coupe l'axe des abscisses aux points A et B.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(4.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.pt,labels=none](0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,xticksize=0 1cm]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dr](1.317,0){A}\uput[dl](-1.317,0){B}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.5}{4.5}{1 2.71828 x exp 4 mul 1 2.71828 2 x mul exp add div sub}
\uput[d](-4,0.9){\blue$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

L'objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction $f$ que l'on peut conjecturer à partir du graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ semble croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x,\, f'(x) = \dfrac{4\text{e}^{x}\left(\text{e}^{2x} - 1\right)}{\left(\text{e}^{2x} + 1 \right)^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item La droite d'équation $x = 0$ semble être un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$.

Démontrer que cette conjecture est vraie. 
\item On désigne par $a$ l'abscisse du point A et on pose $c = \text{e}^a$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le réel $c$ est une solution de l'équation $x^2 - 4x + 1 = 0$.

En déduire la valeur exacte de $a$.
		\item Donner le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'objet de cette partie est d'étudier quelques propriétés de la fonction $F$ définie sur $\R$ par :

\[F(x) = \int_{0}^x f(t)\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de la fonction $F$ sur $\R$.
\item Interpréter géométriquement le réel $F(a)$. En déduire que $- a \leqslant  F(a) \leqslant  0$.
\item On cherche la limite éventuelle de $F$ en $+ \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel positif $t,\, f(t) \geqslant 1 - 4\text{e}^{- t}$.
		\item En déduire que pour tout réel positif $x,\, F(x) \geqslant x - 4$ et déterminer la limite de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question. toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer la limite de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip

\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances}

\medskip

Soient $A, B$ deux points du plan d'affixes respectives $a$ et $b$. 

On rappelle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[*~~] $\left(\vect{u},\,\vect{AB}\right) = \arg (b - a) + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z$.
\item[*~~] L'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\theta$ est le point $C$ défini par :

\[AC = AB\quad  \text{et}\quad \text{si}\, A \neq B,\; \left(\vect{AB},\,\vect{AC}\right)= \theta + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z.\]
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Exprimer l'affixe $c$ du point $C$ en fonction de $a,\, b$ et $\theta$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $2z^2 - 6z + 9 = 0$. 

Dans la suite de l'exercice, on désigne par P, Q et R les points d'affixes respectives 

\[z_{\text{P}} = \dfrac{3}{2}(1 + \text{i}), \quad z_{\text{Q}} = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})\quad \text{et}\quad z_{\text{R}} = -2\text{i}\sqrt{3}.\]

\item Placer les points P, Q, R sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure de la résolution de l'exercice. 
\item On note S le symétrique du point R par rapport au point Q. 

Vérifier que l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S est $3 + \text{i}\left(2\sqrt{3}  - 3\right)$.
\item  Soit $r$ la rotation de centre O  et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

Déterminer les affixes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ des points A et C, images respectives des points R et S par la rotation $r$.
\item  On désigne par B et D les images respectives des points S et R par la translation de vecteur $3\vect{v}$.

Calculer les affixes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{D}}$ des points B et D.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{P}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{P}}} = \text{i}$.
		\item En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\medskip

\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances}

\medskip

Soient $A, B$ deux points du plan d'affixes respectives $a$ et $b$. 

On rappelle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[*~~] $\left(\vect{u},\,\vect{AB}\right) = \arg (b- a) + 2n\pi\, \text{où}\, n \in \Z$.
\item[*~~] L'image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport $k (k > 0)$ et d'angle $\theta$ est le point $C$ défini par :

\[AC = kAB\quad  \text{et}\quad  \text{si}\, A \neq B,\; \left(\vect{AB},\,\vect{AC}\right)= \theta + 2n\pi\, \text{où}\, n \in \Z.\]
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Exprimer l'affixe $c$ du point $C$ en fonction de $a,\, b,\, \theta$ et $k$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère l'équation (E) : \quad  $3x - 2y = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le couple $(-1~;~-2)$ est une solution de (E).
		\item Déterminer tous les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs vérifiant l'équation (E).
	\end{enumerate}
\item Soient $d$ et $d'$ les droites d'équations respectives $y = 2x + 4$ et $3x - 2y = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout entier relatif $k$, le point $A_{k}$ de coordonnées

$(k - 3~;~2k - 2)$ appartient à la droite $d$.

On admettra que ce sont les seuls points de $d$ à coordonnées entières.
		\item Montrer que les seuls points de $d'$ à coordonnées entières sont les points $B_{k'}$ de coordonnées $(2k' -1~;~3k' - 2)$ où $k' \in \Z$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Existe-t-il deux entiers relatifs $k$ et $k'$ tels que $A_{k} = B_{k'}$ ?
		\item Déterminer les entiers relatifs $k$ et $k'$ tels que le segment $\left[A_{k}B_{k'}\right]$ soit parallèle à l'axe des abscisses.
		\item Trouver l'entier $q$ tel que $\vect{A_{3q}B_{2q}} = 4\vect{u}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Omega$ un point quelconque du plan dont l'affixe est notée $\omega$. On note $H$ le milieu du segment $[A_{6}B_{4}]$.

On désigne par $f$ la similitude directe de centre $\Omega$, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de la similitude $f$.
		\item Déterminer l'affixe du point $\Omega$ pour que l'image du point $H$ soit l'origine $O$ du repère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}