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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1998}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C La Réunion juin 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les réponses seront données sous forme de fractions.}

\medskip
 
Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de vingt sujets que l'on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se présentent: chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le premier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième.

On note $A_{1}$ l'évènement : \og les deux sujets obtenus par le premier candidat proviennent du même examinateur \fg{} et $A_{2}$ l'évènement : \og les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur \fg.
 
On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A_{1}$ est égale à $\dfrac{1}{19}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer directement la probabilité conditionnelle $p\left(A_{2}/ A_{1}\right)$ de l'évènement $A_{2}$ sachant que $A_{1}$ est réalisé. 
		\item Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun 
deux sujets provenant d'un même examinateur est égale à $\dfrac{1}{323}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p\left(A_{2}/ \overline{A_{1}}\right)$. 
		\item En remarquant que $A_{2} = \left(A_{2} \cap  A_{1}\right) \cup \left(A_{2} \cap \overline{A_{1}}\right)$,  calculer la probabilité 
$p\left(A_{2}\right)$ puis en déduire que $p\left(A_{2} \cup A_{1}\right) = \dfrac{33}{323}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont choisi chacun deux sujets provenant d'un même examinateur. La variable aléatoire $X$ prend donc les valeurs 0, 1 ou 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal direct \Oijk, on donne 
A, B et C de coordonnées respectives (2~;~0~;~1), $(3~;~-2~;~0)$ et $(2~;~8~;~-4)$. 

Aucune figure n'est demandée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un point $M$ étant de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, exprimer en fonction de $x,~y$ 
et $z$ les coordonnées du produit vectoriel $\vect{\text{A}M} \wedge \vect{\text{B}M}$. 
\item Résoudre le système : 

\[\left\{
\begin{array}{l c r}
- x + y - 2z &=&-4\\
 -x - y - z&=& -11\\
2x + y - z&=& 8
\end{array}\right.\]
 
On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie. 
\item Montrer qu'il existe un unique point $N$ vérifiant 
$\vect{\text{A}N} \wedge \vect{\text{B}N} = \vect{\text{C}N}$ et donner les coordonnées du point $N$. 
\item On rappelle que le volume d'un tétraèdre s'obtient par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h$  où $\mathcal{B} $ représente l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante. 
	\begin{enumerate}
		\item Le point $N$ étant défini à la question précédente, montrer que le volume du tétraèdre ABC$N$ est égal à $\dfrac{1}{6}\text{C}N^2$. 
		\item En utilisant les résultats du 1., et en prenant $M$ = C, calculer l'aire du triangle ABC. 
		\item Utiliser les résultats précédents pour calculer la distance du point $N$ au plan (ABC). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté rapporté au repère orthonormal direct \Oij{} 
(unité : le cm), on trace le cercle $(C)$ de diamètre [AO] où A est le point de coordonnées $(-6~;~0)$ ; on appelle $\Omega$ le centre de $(C)$.
 
Si P est un point de $(C)$, on note K le projeté orthogonal de P sur la droite 
(AO) et M le point défini par $\vect{\text{KM}} = \vect{\text{AP}}$. 

Soit $t$ une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\Omega\text{O}},~ \vect{\Omega\text{P}}\right)$.
 
On veut déterminer l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points M de paramètre $t$ obtenu lorsque P décrit $(C)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur une figure qui sera complétée à la question 5, représenter (C), placer un point P et les points K et M correspondants. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $t$ les coordonnées du point P puis celles du point M. 
		\item En déduire une représentation paramétrique de $(\mathcal{E})$. 
\item Soit M$'$ le point de $(\mathcal{E})$ de paramètre $\pi- t$. Par quelle transformation peut-on obtenir le point M$'$ à partir du point M de paramètre $t$ ?
	\end{enumerate} 
\item Soit N le point $(\mathcal{E})$ de paramètre $t + \dfrac{\pi}{2}$. Montrer que le vecteur 
$\left(\vect{\text{ON}}\right)$ est un vecteur directeur de la tangente à $(\mathcal{E})$ au point M de paramètre $t$. 
\item Dessin de $(\mathcal{E})$ : 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau des variations conjointes des coordonnées de M pour $t$ 
appartenant à $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. 
		\item Construire les points M$_{1}$ M$_{2}$ et M$_{3}$ obtenus pour les valeurs de $t$ 
suivantes : $\dfrac{\pi}{6},\: \dfrac{\pi}{4},\:\dfrac{\pi}{3}$ et utiliser le résultat des questions 3 et 4 et pour construire trois  autres points de $(\mathcal{E})$ ainsi que les tangentes à $(\mathcal{E})$ en M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$. 
		\item Achever le dessin de $(\mathcal{E})$.
	\end{enumerate}		 
\textbf{N. B.} 
La question 5. a. a été transformée (elle demandait d'indiquer la nature de $(\mathcal{E})$ et de placer les sommets de $(\mathcal{E})$) afin de tenir compte des modifications de programme. Par ailleurs, cet exercice peut être traité désormais dans le cadre de l'enseignement obligatoire. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 11 points}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^x - x^2\]

dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal \Oij, est donnée sur le graphique ci-dessous à compléter et à rendre avec la copie.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(-3,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}\uput[r](-1.7,-3){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2.15}{2.71828 x exp x dup mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}= \dfrac{\text{e}^x}{x} - x$ et on note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans le même repère.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Remarques préliminaires concernant la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sans chercher à déterminer son équation, tracer la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ passant par O. On notera A son point de contact avec $\mathcal{C}_{f}$. Évaluer graphiquement le coefficient directeur de cette tangente en expliquant le procédé utilisé. 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x$, puis en donner une  valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
\item En déduire une interprétation graphique du nombre réel : $\text{e}^2 - \text{e} - \dfrac{7}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction}\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $0$ et justifier que $\mathcal{C}_{g}$ admet une asymptote. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $g'(x)$ et montrer qu'elle est du signe de $(x - 1)\text{e}^x - x^2$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Soit $u$ la fonction qui à tout $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ associe 
		
$u(x) = (x-1)\text{e}^{x } - x^2$. 
Étudier le sens de variation de $u$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
		\item Déterminer le signe de $u(x)$ sur l'intervalle [0~;~1[. 
		\item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique $a$ sur l'intervalle [1~;~2].
		 
En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $u(x)$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
		\item En déduire le signe de $g'(x)$ et dresser la tableau de variation de $g$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C : Construction de } \boldmath $\mathcal{C}_{g}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se propose de construire le point $S(a~;~g(a))$ où $a$ est le réel déterminé dans la question B.  2. d. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, \quad $g^{\prime}(x) = 0$ équivaut à $f^{\prime}(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ et que par conséquent $f'(a) = \dfrac{f(a)}{a}$. 
		\item En utilisant ce résultat, établir que $a$ est l'abscisse du point A défini dans la première partie. 
		\item Justifier que l'ordonnée de $S$ est $f^{\prime}(a)$ et placer $S$ sur le dessin. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. 
\item Construire la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D : Étude d'une primitive de \boldmath $g$ \unboldmath et calcul d'une intégrale }

\medskip

Soit $G$ la primitive de $g$ sur l'intervalle [1~;~2] qui s'annule pour $x = 1$ (on ne cherchera pas à calculer cette primitive).
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $G$ sur [1~;~2]. 
\item Donner une interprétation géométrique du nombre $G(2)$. Dans la suite, on prendra $1,55$ comme valeur approchée de $G(2)$ à $10^{-2}$ près. 
\item On considère l'intégrale $J = \displaystyle\int_{1}^2 G(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'intégrale $I$ calculée dans la première partie peut s'écrire 
		 
\[I = \int_{1}^2 xg(x)\:\text{d}x.\]
 
		\item En utilisant une intégration par parties, établir que $I = 2 G(2) - J$ et en déduire une valeur approchée de $J$, à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{document}