\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juin 1999~\decofourright}}}\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip
 
On dispose d'un cube en bois de $3$~cm d'arête, peint en bleu. On le découpe, parallèlement aux faces, en $27$~cubes de 1~cm d'arête. On place ces $27$~cubes dans un sac.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On tire au hasard l'un des $27$~cubes du sac. On suppose que les tirages sont équiprobables. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de faces peintes sur le cube tiré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On tire maintenant, au hasard, simultanément deux des $27$~cubes du sac. On suppose que les tirages sont équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité d'avoir, au total, six faces peintes est égale à $\dfrac{28}{351}$.
\item  On désigne par $n$ un nombre entier naturel non nul ; après avoir noté le nombre de faces coloriées sur les deux premiers cubes tirés, on les remet dans le sac et on recommence l'opération de manière à effectuer $n$ tirages successifs et indépendants de deux cubes.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p_{n}$ pour que l'on obtienne, au total, $6n$ faces peintes.
		\item Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour que $p_{n}$ soit inférieur à $10^{-12}$.
Les résultats des calculs de probabilités seront donnés sous forme fractionnaire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} 
(unité graphique : $2$~cm).

On considère l'application $f$ qui, à chaque point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par

\[z' = \dfrac{1}{\overline{z}}\]

où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$.

On désigne par A et O les points d'affixes respectives $-\text{i}$ et $\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre A et de rayon 1, privé de O.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre complexe $z$ non nul, démontrer que :

\[\left|z' + \text{i}\right| = \left|z'\right|\quad \text{équivaut à }\quad |z + \text{i}| = 1.\]

		\item En déduire l'ensemble $\mathcal{C}'_{1}$, image de $\mathcal{C}_{1}$ par $f$.
		\item Tracer $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}'_{1}$ sur une même figure.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre A et de rayon $\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ non nul,

$\left|z' - \text{i}\right|^2 = 2$  équivaut à $|z + \text{i}|^2 = 2$ (on pourra utiliser $\left|Z^2\right| = Z\overline{Z}$).
		\item En déduire l'ensemble $\mathcal{C}'_{2}$ image de $\mathcal{C}_{2}$ par $f$.
		\item Tracer $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}'_{2}$ sur la figure précédente.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de la similitude directe $\sigma$ de centre $\Omega$ d'affixe $1 + \text{i}$ de rapport 2, et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
		\item Montrer que $\sigma \circ  f$ est l'application qui, à chaque point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M''$ d'affixe $z''$ telle que 
\[z'' = \dfrac{2 \text{i} + (3 -  \text{i})\overline{z}}{\overline{z}}.\]
		\item À l'aide des questions précédentes, déterminer les ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$, images respectives de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ par $\sigma\circ   f$.
		\item Tracer les ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ sur la figure précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique $1$~cm).

On considère la courbe paramétrée ($\Gamma$), ensemble des points $M(t)$ dont les coordonnées $(x(t),~y(t))$  sont définies, pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[- \pi~;~\pi]$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& 5\cos t\\
y(t) &=&   3\sin t\\
\end{array}\right.\]

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie I} On se propose, dans cette partie, de tracer la courbe ($\Gamma$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recherche d'un intervalle d'étude.
	\begin{enumerate}
		\item  Par quelle transformation géométrique le point $M(-t)$ est-il l'image du point $M(t)$ de ($\Gamma$) ?
		\item  Par quelle transformation géométrique le point $M(\pi - t)$ est-il 	l'image du
point $M(t)$ de ($\Gamma$) ?
		\item  Expliquer comment, pour tracer la courbe ($\Gamma$), on peut limiter l'étude à l'intervalle $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$.
	\end{enumerate}
\item  Tracé de ($\Gamma$).
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le sens de variation de chacune des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$.
		\item  Tracer la courbe ($\Gamma$) avec ses tangentes aux points $M(0)$ et $M\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie II -- Propriété géométrique liée à la courbe ($\Gamma$)}

\medskip

Soient F et F$'$ les points d'affixes respectives $4$ et  $- 4$.

Le point $M$, de paramètre $t$, appartenant à la courbe ($\Gamma$), on note
$z = x(t) + \text{i}y(t)$ son affixe.
Soit $\vect{W}$ le vecteur d'affixe $w = - 5 \sin t +3\text{i} \sin t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $16 - z^2 =  w^2$.
\item En déduire que $\left(\vect{M\text{F}},~ \vect{W}\right) = \left(\vect{W},~\vect{\text{F}'M}\right)$  modulo $2\pi$.
\item Comment la propriété précédente permet-elle de construire la tangente en tout point de la courbe ? Réaliser cette construction pour le point de paramètre $\frac{\pi}{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 5 points}

L'objet du problème est d'étudier une fonction $f$ puis d'examiner des intégrales qui en sont issues.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 3 cm).

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : 
\[f(x) = \ln \left(\text{e}^x + \text{e}^{-x} \right) ;\]
 on désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ on a :
\[f(x) = x + \ln \left(1 + \text{e}^{-2x}\right).\]
		\item En déduire que la courbe ($\mathcal{C}$) admet comme asymptote la droite ($\Delta$) d'équation $y =  x$.
		\item Étudier la position relative de ($\mathcal{C}$) et ($\Delta$).
	\end{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations.
\item Tracer la droite ($\Delta$) et la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ on pose

\[F(x) = \displaystyle\int_{0}^x \ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right)\:\text{d}t.\]

On ne cherchera pas à calculer $F(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel strictement positif. En utilisant la question \textbf{1} de la partie A, donner une interprétation géométrique de $F(x)$.
\item Étudier le sens de variation de $F$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Soit $a$ un réel strictement positif.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[1~;~1  + a]$, on a

\[ \dfrac{1}{1 + a} \leqslant \dfrac{1}{t} \leqslant 1.\]
		\item En appliquant le théorème des inégalités des accroissements finis à la fonction logarithme, établir que $\dfrac{a}{1 + a} \leqslant \ln (1 + a) \leqslant a$.
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ un réel strictement positif.

Déduire de la question \textbf{3} :

\[\int_{0}^x \dfrac{\text{e}^{-2t}}{1 + \text{e}^{-2t}}\:\text{d}t \leqslant F(x) \leqslant \int_{0}^x  \text{e}^{-2t}\:\text{d}t.\]

puis $\dfrac{1}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right) \leqslant F(x)\leqslant  \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}$.
\item  On admet que la limite de $F(x)$, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ existe et est un nombre réel noté $\ell$.

Établir que $\dfrac{1}{2}\ln 2 \leqslant \ell \leqslant \dfrac{1}{2}$.
\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_{n} = \displaystyle\int_{n}^{n+1}\ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 \leqslant  u_{n} \leqslant \ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right)\:\text{d}t$.
		
(On pourra utiliser le sens de variations de la fonction $h$, définie sur $[0~:~+\infty[$  par
$h(t) =  \ln \left(1 + \text{e}^{-2t}\right)$).
		\item  Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_{n} =  u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $S_{n}$ à l'aide de $F$ et $n$.
		\item La suite $\left(S_{n}\right)$ est-elle convergente ? Dans l'affirmative, donner sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}