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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small juin 2004} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 
juin 2004~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points }

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1 - x^2\text{e}^{1 - x^2}.\]

Son tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(7.5,2.5)
\psline(0,0)(7.5,0)
\psline(0,2)(7.5,2)
\psline(0,2.5)(7.5,2.5)
\psline(0,0)(0,2.5)
\psline(1.5,0)(1.5,2.5)
\psline(7.5,0)(7.5,2.5)
\psline(4.5,0.4)(4.5,2)
\uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.7,2){$0$} \uput[u](4.5,2){$1$}
\uput[u](7,2){$+ \infty$} 
\rput(0.75,1){$f(x)$}
\rput(1.7,1.7){$1$} \rput(4.5,0.2){$0$}
\rput(7.2,1.7){$1$} 
\psline{->}(1.9,1.7)(4.2,0.2)
\psline{->}(4.8,0.2)(7,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}
    
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ et son asymptote $\Delta$, d'équation $y = 1$, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie.

\bigskip

\textbf{A - Lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $k$ est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique,  préciser en fonction de $k$ le nombre de solutions dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l'équation $f(x) = k$.
\item $n$ étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l'équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ admet deux solutions distinctes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B - Définition et étude de deux suites}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l'équation 
$f(x) = \dfrac{1}{n}$ admet deux solutions $u_{n}$
et $v_{n}$ respectivement comprises dans les intervalles $[0~;~ 1]$  
et $[1~;~+ \infty[$.
 \item Sur la feuille en annexe, construire sur l'axe des abscisses les réels 
$u_{n}$ et $v_{n}$ pour $n$ appartenant à l'ensemble $\{2~;~3~;4\}$.
\item Déterminer le sens de variation des suites $\left(u_{n}\right)$ et 
$\left(v_{n}\right)$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

Procéder de même pour la suite $\left(v_{n}\right)$. En déduire que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi  l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} ; i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Soient les points A, B et C d'affixes  respectives i, $1 + \text{i}$ 
et $-1 + \text{i}$.

Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan différent de A, d'affixe $z$, associe le point $M'$ du plan d'affixe $z'$ tel que :

\[z'= \dfrac{\text{i}z +2}{z - \text{i}}.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les images de B et de C par l'application $f$.
		\item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de i, on a la relation : 

\[\left(z’ - \text{i}\right)(z - \text{i}) = 1.\]

		\item Soit D le point d'affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm).

Déduire de la question précédente une construction du point D$'$ image du point D par l' application $f$.
	\end{enumerate}
\item Soit $R$ un nombre réel strictement positif.

Quelle est l'image par l'application $f$ du cercle de centre A et de rayon $R$ ?
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, si l'affixe du point $M$ est un imaginaire pur différent de i, alors l'affixe du point $M'$ est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l'image par l'application $f$ de l'axe imaginaire privé du point A ?
		\item Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point A et de vecteur directeur $\vect{u}$. Déterminer l' image de la droite $\mathcal{D}$ privée du point A par l'application $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de 
Fermat : \og soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier naturel premier 
avec $p$ ; alors $a^{p-1} - 1$ est divisible par $p$ \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $p$ un nombre premier impair.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer qu'il existe un entier naturel $k$, non nul, tel que $2^k \equiv 1 \quad  [p]$.
		\item Soit $k$ un entier naturel non nul tel que $2^k \equiv 1 \quad  [p]$ et soit $n$ un entier naturel. Montrer que, si $k$ divise $n$, alors $2^n \equiv 1 \quad [p]$.
		\item Soit $b$ tel que $2^b \equiv  1 \quad [p],~ b$ étant le plus petit entier non nul vérifiant  cette propriété.

Montrer, en utilisant la division euclidienne de $n$ par $b$, que si 
$2^n \equiv  1\quad  [p]$, alors $b$ divise $n$.
	\end{enumerate}
\item Soit $q$ un nombre premier impair et le nombre $A = 2^q- 1$.

On prend pour $p$ un facteur premier de $A$. 
	\begin{enumerate} 
		\item  Justifier que : $2^q  \equiv 1 \quad [p]$.
		\item Montrer que $p$ est impair. 
		\item Soit $b$ tel que $2^b \equiv 1 \quad  [p],~ b$ étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété.

Montrer, en utilisant \textbf{1.} que $b$ divise $q$. En déduire que $b = q$.
		\item Montrer que $q$ divise $p - 1$, puis montrer que $p \equiv  1 \quad  [2q]$.
	\end{enumerate}
\item Soit $A_{1} =  2^{17} - 1$. Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 400 et qui sont de la forme $34m + 1$, avec $m$ entier non nul : 103, 137, 239, 307. En déduire que  $A_{1}$ est premier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre 
correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 
un demi-point ; l'absence de réponse est comptée 0 point.

Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

\begin{center}{\textbf{Première partie}} \end{center}

Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données :

B$_{1}$, \np{6000} adresses, dont 120 sont erronées et \np{5880} sont exactes,

B$_{2}$, contenant \np{4000} adresses, dont 200 sont erronées et \np{3800} sont exactes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6\,000 réalisées à l'aide de B$_{1}$. La probabilité qu'exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A :~~} $\dfrac{\binom{120}{3} + \binom{\np{5880}}{7}}{\binom{\np{6000}}{10}}$&\textbf{B :~~}$~ \dfrac{3}{120}$\\
\textbf{C :~~}$~ \binom{10}{3} \times 
{\left(\dfrac{120}{\np{6000}}\right)}^3 \times {\left(\dfrac{\np{5880}}{\np{6000}}\right)}^7$&\textbf{D :~~}$ 
\binom{10}{3} \times {\left(\dfrac{3}{120}\right)}^3 \times {\left(\dfrac{7}{\np{5880}}\right)}^7$
\end{tabularx}

\item Parmi les \np{10000} étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l'étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu'elle ait été réalisée à l'aide de B$_{1}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A :~~}$~ 0,98$  &\textbf{B :~~} $\dfrac{0,4 \times 0,95}{0,6 
\times 0,98 + 0,6\times 0,02}$\\
\text{C :} $0,6 \times  0,98$ &\text{D :~~}$\dfrac{0,6 \times  0,98}{0,6 \times 0,98 + 0,4 \times  0,95}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\begin{center}{\textbf{Deuxième partie}} \end{center}

La durée de vie, exprimée en heures, d'un robot jusqu'à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilité $p$ de durée de vie sans vieillissement définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ (loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0005}$). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l'instant $t$ est : 

\[p\left([0~;~t[\right) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\: \text{d}x.\]

\begin{enumerate} 
\item La probabilité qu'un robot ait une durée de vie supérieure à
\np{2500}~heures est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~}  $\text{e}^{-\frac{\np{2500}}{\np{2000}}}$ & \textbf{B :~~} 
$\text{e}^{\frac{5}{4}}$ &\textbf{C :~~} $1- 
\text{e}^{-\frac{\np{2500}}{\np{2000}}}$	&\textbf{D :~~} \quad
$\text{e}^{-\frac{\np{2000}}{\np{2500}}}$
\end{tabularx}

\item La durée de vie moyenne d'un robot ménager est donnée par la formule :

E $ = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} \int_{0}^t \lambda x \text{e}^{- \lambda 
x} \:\text{d}x.$
	\begin{enumerate} 
		\item L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^t \lambda x \text{e}^{- \lambda x} \: \text{d}x$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A :~~} \scriptsize $\lambda \dfrac{t^2}{2}\text{e}^{-\lambda t}$& 
\textbf{B :~~} \scriptsize $- t \text{e}^{-\lambda t} - \dfrac{\text{e}^{-\lambda 
t}}{\lambda} + \dfrac{1}{\lambda}$& 
\textbf{C :~~} \scriptsize $\lambda t \text{e}^{-\lambda t}- \lambda \text{e}^{-\lambda t} - \lambda$&\textbf{D :~~}\scriptsize $t \text{e}^{-\lambda t} - \dfrac{\text{e}^{-\lambda t}}{- \lambda}$
\end{tabularx}
		\item La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}		
\textbf{A :~~} \np{3500}		&\textbf{B :~~} \np{2000}& \textbf{C :~~} \np{2531,24}	& \textbf{D :~~} \np{3000}
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On désigne par $f$ une fonction dérivable sur $\R$ et par $f'$ sa fonction dérivée.

Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
(1) pour tout nombre réel $x,~ \left[f'(x)\right]^2 - \left[f(x)\right]^2 = 1$,\\
(2) $f'(0) = 1$,\\
(3) la fonction $f'$ est dérivable sur $\R$.
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) \neq 0$. 
		\item Calculer $f(0)$.
	\end{enumerate}
\item En dérivant chaque membre de l'égalité de la proposition (1),
démontrer que :

(4) pour tout nombre réel $x,~ f''(x) = f (x)$, où $f''$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.

\item On pose : $u = f'+ f$ et $v = f'- f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $u (0)$ et $v(0)$.
		\item Démontrer que $u'= u$ et $v'= -v$.
		\item En déduire les fonctions $u$ et $v$.
		\item En déduire que, pour tout réel $x,~ f(x) = \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $m$ un nombre réel. Démontrer que l'équation $f(x) = m$ a une unique solution $\alpha$ dans $\R$. 
		\item Déterminer cette solution lorsque $m = 3$ (on en donnera 
la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à $10^{-2}$  près).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 1}

\vspace{0,8cm}

\textbf{À compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm} 
\rotatebox{90}{%
\psset{xunit=6.4cm,yunit=5.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(3,1.5)
\multido{\r=0+0.083333}{19}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\r)(3,\r)}
\multido{\r=0+0.071429}{43}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\r,0)(\r,1.5)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,1.5)
\psline[linewidth=1.5pt](0,1)(3,1)
\uput[d](2.9,0){$x$}
\uput[l](0,1.4){$y$}
\uput[u](0.4,1){$\Delta$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{3}{1  x 2 exp 2.71828 1 x 2 exp sub exp mul sub}
\uput[d](2.8,0.96){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}%
}
\end{center}
\end{document}