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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{15 juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion 15 juin 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $1$ et en $+\infty$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n+1}  =f\left(u_{n}\right)$ pour tout entier naturel~$n$.
	\begin{enumerate}
		\item  On a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d'équation $y = x$ et les points $M_{1}$ et $M_{2}$ de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $u_{1}$ et $u_{2}$. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \geqslant  \text{e}$ (on pourra utiliser la question 1. b.).
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel  $\ell$ de l'intervalle $[\text{e} ~ ;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En étudiant de deux manières la limite de la suite $\left(f\left(u_{n}\right)\right)$, démontrer que $f(\ell) = \ell$.
\item En déduire la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^x \:\text{d}x$.

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le repère orthonormal
$\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$, la ligne courbe $\mathcal{C}$ reliant le point O au point M est une partie de la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x$. Cette courbe	partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l'indique la figure ci-dessous.

Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l'extérieur de la cible, soit l'une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{center}
\psset{unit=5cm,linewidth=1pt}
\begin{pspicture}(1,2.71828)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psframe(1,2.71828)
\psplot{0}{1}{ 2.71828 x exp x mul}
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
\uput[ul](0,2.71828){N} \uput[ur](1,2.71828){M}
\uput[u](0.6,0.45){partie A}
\uput[u](0.2,2){partie B}
\end{pspicture}
\end{center}

Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à l'extérieur de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ et que les probabilités d'atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la probabilité d'atteindre la partie A est égale à $\dfrac{1}{2\text{e}}$. 

Quelle est la probabilité d'atteindre la partie B ?
\item On lance de manière indépendante trois fléchettes. 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de probabilité de $X$. En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique. 
		\item Soit E l'évènement : \og Exactement deux fléchettes atteignent la partie A \fg. Calculer une valeur approchée au millième de la probabilité de E.
		\item Soit F l'évènement : \og les trois fléchettes atteignent la partie B \fg. Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte).
		
Sachant qu'aucune fléchette n'a atteint l'extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ?
	\end{enumerate}
\item On lance cette fois de manière indépendante $n$ fléchettes.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la probabilité $p_{n}$ pour qu'au moins une des fléchettes atteigne la partie A. 
		\item Déterminer le plus petit naturel $n$ tel que $p_{n} \geqslant 0,99$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2 cm.
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $+ \dfrac{\pi}{2}$.

On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $\dfrac{z - 4}{z}	= \text{i}$. Écrire la solution sous forme algébrique.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$. Écrire les solutions sous forme exponentielle.
\item Soient A, B, A$'$ et D les points du plan complexe d'affixes respectives :

\[a = 2, \qquad  b = 4, \qquad a' = 2\text{i}\quad  \text{et} \quad d = 2 + 2\text{i}.\]

Quelle est la nature du triangle ODB?
\item Soient E et F les points d'affixes respectives $e = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $f =  1 + \text{i}\sqrt{3}$.

Quelle est la nature du quadrilatère OEAF?
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon 2. Soit $\mathcal{C}'$ le cercle de centre A$'$ et de rayon 2.

Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par E$'$ l'image par la rotation $r$ du point E. Calculer l'affixe $e'$ du point E$'$.
		\item Démontrer que le point E$'$ est un point du cercle $\mathcal{C}'$.
		\item Vérifier que : $e - d = \left(\sqrt{3} + 2\right) \left(e' - d\right)$. En déduire que les points E, E$'$ et D sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Soit D$'$ l'image du point D par la rotation $r$. Démontrer que le triangle EE$'$D$'$ est rectangle.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{On complètera la figure donnée en annexe} 2 \emph{au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.}

\medskip

ABCD est un carré tel que $\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = + \dfrac{\pi}{2}$ . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment [CD].

On désigne par $s$ la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

\medskip

\emph{Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de la similitude} $s$. \emph{Dans la partie} A \emph{on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie} B \emph{on utilisera les nombres complexes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $s$.
\item On désigne par $\Omega$ le centre de cette similitude. $\Gamma_{1}$ est le cercle de diamètre [AI], $\Gamma_{2}$ est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que $\Omega$ est l'un des points d'intersection de $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$. Placer $\Omega$ sur la figure.
\item Donner l'image par $s$ de la droite (BC). En déduire le point image par $s$ du point C, puis le point K image par $s$ du point I.
\item On pose $h = s \circ  s$ (composée de $s$ avec elle même).
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la nature de la transformation $h$ (préciser ses éléments caractéristiques). 
		\item Trouver l'image du point A par $h$. En déduire que les points A, $\Omega$ et K sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère $\left(\text{A}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$ orthonormal direct, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2 , 2 + 2i et 2i.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que l'écriture complexe de la similitudes est $z' = \dfrac{1}{2} \text{i}z + 1 + \text{i}$. 
\item Calculer l'affixe du point $\Omega$.
\item Calculer l'affixe du point E tel que $s$(E) = A. Placer le point E sur la figure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions $1, 2, 3$ et $4$,  \textbf{parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont fausses}. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations qu'il pense exactes. Aucune justification n'est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur $1$ point. Toute réponse juste rapporte $0,5$ point. Donner plus de $2$ réponses à une question entraîne la nullité de la question.}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $P$ le plan d'équation $2x +3y + 4z - 1 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item La distance du point O au plan $P$ est égale à 1.
		\item La distance du point O au plan $P$ est égale à $\dfrac{1}{\sqrt{29}}$.
		\item Le vecteur $\vect{n}\left(1~;~\dfrac{3}{2}~;~2\right)$ est un vecteur normal au plan $P$.
		\item Le plan $Q$ d'équation $-5x + 2y + z = 0$ est parallèle au plan $P$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $P$ le plan d'équation $2x + y - z = 0$, et par $D$ la droite passant par le point A$(1~;~ 1~;~ 1)$ et de vecteur directeur $\vect{u} \left(1~;~-4~;~-2\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  La droite $D$ est parallèle au plan $P$. 
		\item La droite $D$ est orthogonale au plan $P$. 
		\item La droite $D$ est sécante avec le plan $P$.
		\item Un système d'équations paramétriques de $D$ est $\left\{\begin{array}{l c l}
x	&=	&1 + \phantom{4}t \\
y	& = &1 - 4t\\
z 	&=	&1 - 2t\\
\end{array}\right. ~(t~\in~\R).$ 
	 \end{enumerate}
\item On désigne par E l'ensemble des points $M(x~;~y~;~z)$ tels que : $x+y+z =  3$ et $2x -z = 1$. Soit le point A$(1~;~ 1~;~1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble E contient un seul point, le point A. 
		\item L'ensemble E est une droite passant par A. 
		\item L'ensemble E est un plan passant par A.
		\item L'ensemble E est une droite de vecteur directeur $\vect{u}(1~;~-3~;~2)$.
	\end{enumerate}
\item ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit $P$ le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC). 
	\begin{enumerate}
		\item  Le plan $P$ contient toujours le point D. 
		\item Le plan $P$ contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC. 
		\item Le plan $P$ est toujours l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que :

\[\vect{\text{B}M} \cdot\: \vect{\text{BC}} =  \vect{\text{BA}} \cdot\: \vect{\text{BC}}.\]

		\item Le plan $P$ est toujours le plan médiateur du segment [BC].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{1cm}

\emph{À compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

Figure de l'exercice 1

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,5.2)
\psgrid[gridwidth=1.5pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(5,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2](0,0)(0,0)(5.5,5.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](5.1,3.2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.28}{5.2}{x x ln div}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{1cm}

\emph{À compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

Figure de l'exercice 3

\vspace{6cm}

\begin{pspicture}(11,5)
\psframe(6,0)(11,5)
\uput[dl](6,0){A} \uput[dr](11,0){B} 
\uput[ur](11,5){C} \uput[ul](6,5){D} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 