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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion  juin 2008 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Tous les résultats seront arrondis à \boldmath $10^{-2}$\unboldmath ~près.}

\medskip

Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à $0,1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og il n'y a aucun stylo avec un défaut \fg{} ;
\item[] $B$ : \og il y a au moins un stylo avec un défaut \fg{}; 
\item[] $C$ : \og il y a exactement deux stylos avec un défaut \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\item En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20\,\% des stylos avec défaut.

On prend au hasard un stylo dans la production. On note $D$ l'évènement \og le stylo présente un défaut \fg, et $E$ l'évènement \og le stylo est accepté \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé. 
		\item Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle.
		\item Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à $0,022$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés.

\medskip

Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos.

Comparer ce résultat avec la probabilité de l'évènement $A$ calculée à la question \textbf{1. b.}. Quel commentaire peut-on faire ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x^2}.\]

Sa courbe représentative ($\mathcal{C}$), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tableau de variations de $f$ donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l'ensemble de définition ainsi que l'extremum.

Énoncer puis démontrer ces propriétés.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Existe-t-il des tangentes à la courbe ($\mathcal{C}$) qui contiennent le point O origine du repère ? Si oui donner leur équation.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~\infty[$  par 

\[g(x) = \displaystyle\int_{1}^x \dfrac{\ln t}{t^2}\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente $f$ pour la fonction $g$ ?
		\item En déduire le sens de variations de $g$ sur $]0~;~ \infty[$.
 	\end{enumerate}
\item Interpréter géométriquement les réels $g(3)$ et $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $g(x) = 1- \dfrac{\ln x +  1}{x}$. 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par :

\[u_{0} = 5\quad  \text{et, pour tout entier}~~ n \geqslant 1,~ u_{n} = \left(1 + \dfrac{2}{n}\right)u_{n-1} + \dfrac{6}{n}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$.
		\item Les valeurs de $u_{2},~ u_{3},~ u_{4},~ u_{5},{} u_{6},{} u_{7},{} u_{8},{} u_{9},{} u_{10},{} u_{11}$ sont respectivement égales à :
		
45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.

À partir de ces données conjecturer la nature de la suite $\left(d_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par $d_{n} = u_{n+1} - u_{n}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite arithmétique $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ de raison $8$ et de premier terme $v_{0} = 16$.

Justifier que la somme des $n$ premiers termes de cette suite est égale à 

$4n^2 + 12n$.

\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :

$ u_{n} = 4n^2 + 12n + 5$.

\item Valider la conjecture émise à la question \textbf{1. b.}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.

Soit ($\mathcal{C}$) le cercle de centre O et de rayon 1.

On considère le point A de ($\mathcal{C}$) d'affixe $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que ($\mathcal{C}$) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $-2$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par $h$.
		\item Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.}
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de $h$.
		\item Calculer $z_{\text{A}} + z_{\text{B}} + z_{\text{C}}$. En déduire que A est le milieu du segment [QR].
		\item Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle ($\mathcal{C}$) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Soient A, B et C les points d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 2 + \text{i},~~ z_{\text{B}} = 5 + 2\text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}}= \text{i}. \]

$s_{1}$ désigne la symétrie d'axe (AB).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $s_{1}$ transforme tout point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ telle que
		\[z' = \left(\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}\right)\overline{z} + \left(-\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}\right)\]
		\item En déduire l'affixe de C$'$, symétrique de C par rapport à (AB).
		\item Démontrer que l'ensemble des points $M$ tels que $z'$ est imaginaire pur est la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $4x+ 3y= 1$.
		\item Vérifier que le point C$'$ appartient à ($\mathcal{D}$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les droites ($\mathcal{D}$) et (AB) sont sécantes en un point $\Omega$ dont on précisera l'affixe $\omega$.
		\item On désigne par $s_{2}$ la symétrie d'axe ($\mathcal{D}$) et par $f$ la transformation définie par $f = s_{2} \circ s_{1}$. Justifier que $f$ est une similitude directe et préciser son rapport.
		\item Déterminer les images des points C et $\Omega$ par la transformation $f$.
		\item Justifier que $f$ est une rotation dont on donnera le centre.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n 'aboutit pas.}
	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x~;~ y)$ solutions de l'équation : $4x + 3y = 1$.
		\item  Déterminer les points de ($\mathcal{D}$) à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à $9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE exercice 2}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=1.75cm,yunit=2cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-2)(5,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(0,-2)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](4,0.1){\blue $(\mathcal{C})$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.548}{4}{x ln x 2 exp div}
\end{pspicture}

\vspace{3cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.75)
\psframe(8,3.75) \psline(0,3)(8,3) \psline(2,0)(2,3.75)
\psline[doubleline=true](2.15,0)(2.15,3)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.15,3){$0$} \uput[u](5,3){$\text{e}^{\frac{1}{2}}$} \uput[u](7.6,3){$+ \infty$} 
\rput(1,1.5){$f(x)$}
\rput(2.5,0.2){$- \infty$} \rput(5,2.4){$\dfrac{1}{2\text{e}}$}
\rput(7.7,0.2){$0$}
\psline{->}(2.6,0.4)(4.5,2.4) \psline{->}(5.4,2.4)(7.5,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}