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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small juin 2005}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.}

\emph{Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Chaque réponse exacte rapporte $0,5$ point, chaque réponse fausse enlève $0,25$ point. Donner trois propositions ou plus d'une question, ou bien n'en donner aucune, ne rapporte aucun point.}

\emph{Si, par application de ce barème, le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené  à zéro.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les suites suivantes sont convergentes :

\[\text{\textbf{a.}}~\left(\dfrac{2^n}{n^{2005}}\right)_{n >0}\quad \text{\textbf{b.}}~	\left(\dfrac{2n + (-1)^n\sqrt{n}}{n + 1}\right)_{n \in \N}\quad \text{\textbf{c.}}~	\left(n\sin\dfrac{1}{n}\right)_{n>0}\quad \text{\textbf{d.}}~ \left(\dfrac{\sqrt{n}}{\ln n}\right)_{n>1}\]

\item On considère trois suites $\left(u_{n}\right),~ \left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ ayant, pour tout entier naturel $n$, les propriétés suivantes :  $u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant  w_{n},~\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_{n}) = - 1$ 	et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (w_{n}) = 1$.

Alors : 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(v_{n}\right) = 0$.
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est minorée.
		\item Pour tout $n$ de $\N$, on a : $-1 \leqslant v_{n} \leqslant 1$.
		\item On ne sait pas dire si la suite $\left(v_{n}\right)$ a une limite ou non.
	\end{enumerate}
\item Une suite $\left(u_{n}\right)$ est définie sur $\N$ par 

$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0} & =& 1,5\\
u_{n+1}&=&	2u_{n} - 1~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
\end{array}\right.$
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équations $y = x $  et $y = 2x - 1$.
		\item La suite $\left(v_{n}\right)$, définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} - 1$, est géométrique.
		\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est majorée.
		\item La suite $\left(w_{n}\right)$, définie sur $\N$ par $w_{n} =\ln \left(u_{n} -  1\right)$, est arithmétique.
	\end{enumerate}

\item Deux suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont définies pour $n > 0$ par les relations :

\[x_{n} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}~\text{et}~y_{n} = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{2n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont toutes les deux croissantes.
		\item $x_{3} = \dfrac{19}{20}$  	et $y_{3} = \dfrac{37}{60}$.
		\item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ ne sont pas majorées.
		\item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont adjacentes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n 'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère trois urnes U$_{1}$,~U$_{2}$, et U$_{3}$.

L'urne U$_{1}$ contient deux boules noires et trois boules rouges ; l'urne U$_{2}$ contient une boule noire et quatre boules rouges  ; l'urne U$_{3}$ contient trois boules noires et quatre boules rouges.

Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U$_{1}$ et une boule de U$_{2}$, à les mettre dans U$_{3}$, puis à tirer au hasard une boule de U$_{3}$.

Pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par $N_{i}$, (respectivement $R_{i}$) l'évènement \og on tire une boule noire de l'urne U$_{i}$ \fg{} (respectivement \og on tire une boule rouge de l'urne U$_{i}$ \fg).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
	{\pstree{\TR{$N_1$}}
{\pstree{\TR{$N_2$}}
{\TR{$N_3$}
\TR{$R_3$}
	}
\pstree{\TR{$R_2$}}
	{\TR{$N_3$}
	\TR{$R_3$}
			}
	}
\pstree{\TR{$R_1$}}
	{\pstree{\TR{$N_2$}}
{\TR{$N_3$}
\TR{$R_3$}
	}
\pstree{\TR{$R_2$}}
	{\TR{$N_3$}
	\TR{$R_3$}
	}
}
}
\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements $N_{1}  \cap N_{2}\cap  N_{3}$, et $N_{1}  \cap R_{2}~\cap N_{3}$.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $N_{1} \cap  N_{3}$.
		\item Calculer de façon analogue la probabilité de l'évènement $R_{1} \cap N_{3}$.
	\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente la probabilité de l'évènement $N_{3}$.
\item Les évènements $N_{1}$ et $N_{3}$ sont-ils indépendants ?
\item Sachant que la boule tirée dans U$_{3}$ est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U$_{1}$ soit rouge ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant :

\og Étant donnés deux entiers naturels $a$ et $b$ non nuls, si PGCD$(a~;~ b) = 1$ alors

PGCD$(a^2~;~b^2) = 1$ \fg.

Une suite $\left(\text{S}_{n}\right)$ est définie pour $n > 0$ par S$_{n} = \displaystyle\sum_{p=1}^n p^3$. On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul $n$, le plus grand commun diviseur de S$_{n}$ et S$_{n+1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $n > 0$, on a : S$_{n}  = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$.
\item Étude du cas où $n$ est pair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que PGCD(S$_{2k}$~;~S$_{2k+1}) =  (2k+1)^2$PGCD$\left(k^2~;~(k+1)^2\right)$.
		\item Calculer PGCD $(k~;~ k + 1)$.
		\item Calculer PGCD$\left(\text{S}_{2k}~;~\text{S}_{2k+1}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Étude du cas où $n$ est impair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k+ 1.$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les entiers $2k + 1$ et $2k +3$ sont premiers entre eux.
		\item Calculer PGCD$\left(\text{S}_{2k+1}~;~ \text{S}_{2k+2}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes qu'il existe une unique valeur de $n$, que l'on déterminera, pour laquelle S$_{n}$ et S$_{n+1}$ sont premiers entre eux.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction $f$ dérivable sur $\R$ vérifiant la condition :

\[(\text{C})\quad \left\{\begin{array}{l c l}
f(- x)f'(x)& =& 1~\text{ pour tout nombre réel}~x,\\
f(0) &=& - 4\\\end{array}\right.\]

(où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$) et de trouver cette fonction.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On suppose qu'il existe une fonction $f$ satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)= f(- x)f(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
		\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $g$.
		\item En déduire que la fonction $g$ est constante et déterminer sa valeur.
		\item On considère l'équation différentielle (E) $y' = \dfrac{1}{16}y$. Montrer que la fonction $f$ est solution de cette équation et qu'elle vérifie $f(0) = - 4$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Question de cours}
	\begin{enumerate}
		\item On sait que la fonction $x \longmapsto \text{e}^{\frac{x}{16}}$ est solution de l'équation différentielle (E). Démontrer alors que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions, définies sur $\R$, de la forme $x \longmapsto  K\text{e}^{\frac{x}{16}}$, où $K$ est un nombre réel quelconque 
		\item Démontrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle (E) prenant la valeur $-4$ en 0.
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes qu'il existe une seule fonction dérivable sur $\R$ satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On appelle hauteur d'un tétraèdre toute droite contenant l'un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet.

Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{} on donne les points A$(3~;~2~;~- 1)$, B$(-6~;~1~;~1)$, C$(4~;~-3~;~3)$ et D$(- 1~;~-5~;~ - 1)$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (BCD) est :

		$- 2x - 3y+ 4z -13 = 0$.
		\item Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{BH}} \cdot \vect{\text{CD}}$.
		\item Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ?
	\end{enumerate}
\item On définit les points I(1~;~0~;~0), J(0~;~1~;~0), K(0~;~0~;~1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsl{L'exercice comporte une annexe à rendre avec la copie.}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, par

\[f(x) = \ln(x + 1)\quad \text{et}\quad  g(x) = \text{e}^x - 1.\]

On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal
\Oij. Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile ; cette annexe sera à joindre à la copie, avec les éventuels ajouts effectués par le candidat,

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ 	ont une tangente commune au point 

O(0~;~0). Préciser la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à cette tangente.
\item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.
\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre $I(a) = \displaystyle\int_{0}^a  \ln (x + 1)\,\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant des considérations d'aires, démontrer que
\[I(a) = a \ln (a + 1) - \displaystyle\int_{0}^{\ln (a + 1)} \left(\text{e}^x - 1\right)\,\text{d}x.\]
		\item En déduire la valeur de $I(a)$.
		\item Retrouver la valeur de $I(a)$ en effectuant une intégration par parties.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{2cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\end{center}
 
\textbf{Courbes de l'exercice 5}
 
\vspace{2cm}
 
\psset{unit=3cm}\begin{pspicture}(4,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(4,4)
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\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
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\end{pspicture}
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