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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S La Réunion  juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs tels que $a <b$.

On désigne par A et par B les points d'abscisses respectives $a$ et $b$ de la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormal \Oij.

Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation réduite de la tangente (T) au point A à la courbe $\Gamma$.
		\item Déterminer l'ordonnée du point d'intersection P de (T) avec l'axe des ordonnées.

Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de (T) ; la réaliser sur la figure en annexe).
\end{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}

\medskip
On suppose connue la propriété :

\og Pour tout couple $(x~;~ y)$ de nombres réels strictement positifs, on a $\ln (xy) = \ln (x)+ \ln (y)$. \fg

En déduire que, pour tout nombre réel $m$ strictement positif, on a 
$\ln \left(\sqrt{m}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(m)$.
\item Utiliser le résultat de la question 2 pour placer sur l'axe des abscisses le point G d'abscisse $\sqrt{ab}$. Expliquer la construction et la réaliser sur la figure de l'annexe~1 (on laissera les traits de construction apparents).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $a$ un nombre réel tel que $-1 < a < 0$.

On considère la suite $u$ définie par $u_{0} = a$, et pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = u_{n}^2 + u_{n}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la monotonie de la suite $u$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x^2 +x$. Étudier le sens de variations de la fonction $h$.

En déduire que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1~;~0[$, le nombre $h(x)$ appartient aussi à l'intervalle $]-1~;~0[$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $-1< u_{n} < 0$.
	\end{enumerate}
\item  Étudier la convergence de la suite $u$. Déterminer, si elle existe, sa limite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :	$\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) & = &\dfrac{x\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}	~\text{si}~ x \neq 0\\
f(0)& = &1.\\
\end{array}\right.$\\
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item  Établir que, pour tout nombre réel $x$ non nul, on a $f(x) = x \left(1 + \dfrac{1}{\text{e}^x - 1}\right)$.

En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Donner, sans démontrer, la limite suivante : $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\text{e}^x - 1}$  et démontrer que $f$ est continue en $0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $\text{e}^x \geqslant  x + 1$, et que l'égalité n'a lieu que pour $x = 0$.
		\item  Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ 
et déterminer la fonction $g$ telle que, pour tout nombre
réel $x$ non nul, $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x g(x)}{\left(\text{e}^x - 1 \right)^2}$.
		\item  Donner le tableau des variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Soient $x$ un nombre réel non nul et les points $M(x~;~ f(x))$ et $M'(- x~;~f(- x))$ de la courbe $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Établir que $f(- x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - 1}$,  puis déterminer le coefficient directeur de la droite $(MM')$.
		\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable en $0$. Que suggère alors le résultat précédent ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

A, B, C désignent les points d'affixes respectives $a = -2\sqrt{3},~ b = \sqrt{3} - 3\text{i}$  et $c = 2\text{i}$.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $b$ sous forme exponentielle.
		\item Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe 2. 

Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).
	\end{enumerate}
\item On désigne par E le barycentre du système $\{$(A~;~1) ; (C~;~3)$\}$ et par F le barycentre du système $\{$(A~;~2) ; (B~;~1)$\}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Établir que l'affixe $e$ du point E est égale à $ - \dfrac{ \sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$.
		\item Déterminer l'affixe $f$ du point F.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quotient $\dfrac{e - c}{e - b}$ peut s'écrire $k$i où $k$ est un nombre réel à déterminer.\\
 En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin.
		\item  Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur le dessin.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par H le barycentre du système $\{$(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 6)$\}$. Démontrer que le point H est le point d'intersection des droites (BE) et (CF).

Qu'en déduit-on pour le point H ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

A, B, C, désignent les points d'affixes respectives $a = -2\sqrt{3},~ b = \sqrt{3} - 3\text{i}$  et $c = 2\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $b$ sous forme exponentielle.
		\item Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe 2. 

Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).
		\item Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{AB}}\right)$ et de l'angle

$\left(\vect{u}~;~\vect{\text{AC}}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Les points E et F ont pour affixes respectives $e = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}+ \dfrac{3}{2}\text{i}$ et $f = - \sqrt{3} - \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, E et C, d'une part, et les points A, F et B, d'autre part, sont alignés,
		\item Démontrer que le quotient $\dfrac{e - c}{e - b}$ peut s'écrire $k$i où $k$ est un nombre réel à déterminer.

Interpréter géométriquement ce résultat.

On admet que, de façon analogue, $\dfrac{f - c}{f - b}$ peut s'écrire $k'\text{i}$ où $k'$ est un nombre réel non nul que l'on ne demande pas de déterminer.
		\item  Placer les points E et F sur la figure.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $S$ la similitude indirecte dont l'écriture complexe est 

\[z \longmapsto \dfrac{1}{2}\overline{z} - \sqrt{3}.\]

Déterminer les images par $S$ des trois points A, B et C.
\item Soit H le point d'intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point $S$(H) sur la figure.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE 1}

\medskip

(\emph{À rendre avec la copie)} \end{center}

\vspace{1cm}
\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(9,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-0.5,-1)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.37}{9}{x ln}
\psline[linestyle=dotted](2.4,0)(2.4,0.8755)(0,0.8755)
\psline[linestyle=dotted](6.6,0)(6.6,1.887)(0,1.887)
\uput[u](8.5,0){$x$}\uput[r](8,2.5){\blue $y = \ln x$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](2.4,0.8755){A} \uput[d](2.4,0){$a$}
\uput[ul](6.6,1.887){B} \uput[d](6.6,0){$b$}
\uput[l](0,0.8755){Q} \uput[l](0,1.887){R}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE 2}

\medskip

(\emph{À rendre avec la copie)} \end{center}

\vspace{1cm}
\textbf{Exercice 4}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=1,gridlabels=0pt,gridwidth=1.75pt]
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[l](0,2){C}\uput[d](-3.464,0){A}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(0,2)(-3.464,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}