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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES La Réunion juin 2002~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Jean-Paul, marathonien émérite, note ses temps de passage lors d'un entraînement :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l | *{4}{c |}}\hline
Distances parcourues $x_{i}$ en mètres	&200	&300&400 	&500\\ \hline
Temps de passage $y_{i}$ en secondes	&40		&60	&82		&104\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.}, les détails des calculs statistiques ne sont 
pas demandés.} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter sur  papier millimétré, le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$
 associé à la série double, dans un repère orthogonal.

On prendra pour unités : 1~cm pour 50~mètres sur l'axe des abscisses,
1~cm pour 10~secondes sur l'axe des ordonnées.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série 
statistique et placer ce point sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur du coefficient de corrélation 
linéaire de la série double $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$  (à $10^{- 4}$ près).

Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ? 

\item Pour effectuer des prévisions, Jean-Paul utilise 
la droite $\mathcal{D}$ de coefficient directeur $0,21$ passant par le point G. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer alors une équation de $\mathcal{D}$.
		\item Tracer $\mathcal{D}$ sur le graphique. 
		\item Calculer le temps de passage prévisible aux \np{1000}~m.
		\item En fait, aux \np{1000}~m, Jean-Paul a un temps de passage de $220$ secondes.

Par rapport à la valeur réelle, calculer (à $0,01$ près) le pourcentage 
d'erreur commise dans sa prévision de temps de passage aux  \np{1000}~m.
	\end{enumerate}
\item Peu satisfait de ses prévisions sur des distances 
plus longues, Jean-Paul recherche pour la série ci-dessous un ajustement par
une fonction trinôme du second degré :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l | *{3}{c |}}\hline
Distances parcourues $x_{i}$ en km& 0&0,2& 1 \\ \hline
Temps de passage $y_{i}$ en secondes&	0& 40& 220\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $a$, $b$, $c$ pour que la parabole d'équation 
$y =  ax^2 + bx + c$ passe par les trois points de ce nuage.
		\item Aux \np{2000}~m, Jean-Paul a un temps de passage de $8$~minutes.

Laquelle des deux méthodes d'ajustement permet la meilleure  prévision ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

En annexe 1 est donnée la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative d'une 
fonction $f$.

En annexe 2 est donnée la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative d'une 
fonction $g$.

L'unité est Ie cm.

La droite (T) est la tangente en A à $\mathcal{C}_{f}$.

La droite (T$'$)  est la tangente en  B $\mathcal{C}_{g}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Lire $f(0)$,\:$f(1)$,\: $f(5)$.
		\item La fonction $f'$ étant la dérivée de la fonction $f$, donner, 
en justifiant, $f'(1)$ et $f'(5)$.
		\item Déterminer alors une équation de la droite (T).
		\item La fonction $f$ étant définie par $f(x) = 3x - 8 + \dfrac{12}{x + 1}$ calculer en cm$^2$ l'aire du domaine plan limité par les droites d'équations $x = 0$,\:$x = 5$, l'axe	des abscisses
et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. En donner une valeur approchée à  $10^{- 2}$ près.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Lire $g(1)$,\: $g(4)$,\: $g(9)$.
		\item Donner en justifiant, $g'(9)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction définie sur [0~;~5] par $u(x) =  (g \circ f)(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $u(0)$,\: $u(1)$ et $u(5)$.
		\item Calculer $u'(5)$.
		\item En utilisant le sens de variation de chacune des fonctions 
$f$ et $g$ donner le tableau de variations de la fonction $u$ sur l'intervalle 
[0~;~5].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $\left(r_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier
naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
r_{1} 	& = & 0,6\\
r_{n+1} & = & 0,5r_{n} + 0,4
\end{array}\right.\]

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie, pour $n \geqslant 1$, par $u_{n} = 
r_{n} - 0,3$. 

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 
$0,5$. Déterminer $u_{1}$. 
		\item En déduire l'expression du terme général de $(u_{n})$ et de 
celui de $\left(r_{n}\right)$ fonction de $n$. 
		\item Montrer que, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, la suite 
$\left(r_{n}\right)$ a une limite que l'on  calculera.
	\end{enumerate}
\item Amateur de jeux vidéo, Albert fait l'acquisition d'un jeu de voitures de course.

Lors de son premier essai, il a seulement 6 chances sur 10 de terminer le circuit indemne.

S'il réussit le $n$-ième esai, sa probabilité de réussir l'essai 
suivant est $0,9$.

S'il manque le $n$-ième essai, sa probabilité de réussir l'essai 
suivant est de $0,4$. 

Pour $n \geqslant 1$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement 
$R_{n}$ \:\og Albert réussit  le $n$-ième essai \fg. 

	\begin{enumerate} 
		\item À partir des données du texte, évaluer $p_{1}$, et les 
probabilités conditionnelles, suivantes : $p\left(R_{n+1}/ 
R_{n}\right)$ et $p\left(R_{n+1}/ 
\overline{R_{n}}\right)$. 
		\item Déterminer en  fonction de $p_{n}$ , les probabilités suivantes : 
$p\left(\overline{R_{n}}\right),$\\
$\-p\left(R_{n+1} \cap  R_{n}\right)$ et $p\left(R_{n+1} \cap \overline{R_{n}}\right)$.
		\item En déduire que $p_{n+1} = 0,5p_{n} +  0,4$. 
		\item Que nous apprend sur le jeu la réponse à la question 
\textbf{1. c.} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 8 points}

\medskip

L'objet de ce problème est de rechercher un coût moyen de production minimal, 
connaissant le coût marginal.

\bigskip

\textbf{I - Des résultats préliminaires susceptibles d'être 
utilisés ensuite}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ 
par 

\[f(x)  = 2x -2 + \text{e}^{- x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer $f'$ dérivée de $f$, ainsi que le signe de 
$f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
		\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item Prouver que, dans [0~;~1], l'équation $f(x) = 0$ admet une 
et une seule solution $\alpha$.

Donner une valeur décimale approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut.
		\item En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de la fonction $g~:~ x 
\mapsto  x \text{e}^{- x}$ est la fonction \\$g'~:~ x \mapsto (1 -x) \text{e}^{- x}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II - Recherche du coût total}

\medskip

Une usine fabrique un produit dont le coût marginal $C$ \textbf{en milliers 
d'euros}, est donné par la formule :

\[C(x) =  3 x^2- 4x + 2 + (x - 1)\text{e}^{- x}.\]

$x$ représentant la quantité de produit en centaines de grammes.

On rappelle que le coût marginal $C$ peut être assimilé à la dérivée du 
coût total $C_{\text{T}}$.

Déterminer $C_{\text{T}}(x)$ sachant que $C_{\text{T}}(0)
= 0$.

\bigskip

\textbf{III}

\medskip

Pour une production de $x$ \textbf{centaines de grammes} on appelle 
$C_{m}(x)$ le coût moyen d'un \textbf{gramme}, en milliers d'euros. La 
fonction $C_{m}$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Prouver que $C_{m}(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 2 - \text{e}^{- x}}{100}$.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $C'_{m}(x)$ et prouver que $C'_{m}(x)$ et $f(x)$ ont le même signe.
		\item En déduire les variations de $C_{m}$. On ne demande pas les calculs de limites. 
		\item Donner une valeur approchée de la production donnant un coût moyen minimal. 
		\item Calculer, au centième près, le coût moyen en euros pour une  production de $76$~grammes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}
    
\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}    
\begin{pspicture}(8,12)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(8,12)
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\rput(0.5,2.5){\red $\mathcal{C}_{f}$} \rput(2.5,1.5){(T)} 
\uput[dr](5,9){A}
\end{pspicture}
\vspace{1cm}
    
\textbf{ANNEXE 2}
    
\vspace{0,5cm}
    
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,7)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt]
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}