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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{28 mars 2023}}
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\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat LA RÉUNION 28 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit. 

\begin{itemize}
\item L'entreprise appelle chaque personne une première fois:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,6 ;
\item[$\bullet~~$]si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,3.
\end{itemize}
\item Si la personne n'a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,3$ ;
\item[$\bullet~~$]si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,2.
\end{itemize}
\item Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.
\end{itemize}

\medskip

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants : 

\begin{description}
\item[ ] $D_1$ : \og la personne décroche au premier appel\fg{} ;
\item[ ] $D_2$ : \og la personne décroche au deuxième appel\fg{} ;
\item[ ] $A$ : \og la personne achète le produit \fg.
\end{description}

\begin{center}\emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante}\end{center}

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.
\item En utilisant l'arbre pondéré, montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est 

$P(A) = 0,204$.
\item On sait que la personne a acheté le produit.

Quelle est la probabilité qu'elle ait décroché au premier appel ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D_1$~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\taput{0,3}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D_1}$~}\tbput{0,6}}
	{\pstree{\TR{$D_{2}$}\taput{\ldots}}
		{\TR{$A$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
		}
	\TR{$\overline{D_{2}}$}\tbput{\ldots}
		}
}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,204$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un échantillon aléatoire de $30$ personnes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l'échantillon qui achètent le produit.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que X suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres. 
		\item Déterminer la probabilité qu'exactement 6 personnes de l'échantillon achètent
le produit. Arrondir le résultat au millième.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
Interpréter le résultat.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.

On considère désormais un échantillon de $n$ personnes. 

Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins l'une des personnes de l'échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
\begin{center}\boldmath $f(x) = 3x + 1 - 2x \ln (x)$.\unboldmath\end{center}

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$. 

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $f'(x) = 1- 2\ln (x)$.
		\item Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		
On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la valeur exacte de l'extremum.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0~;~+\infty[$. On notera $\alpha$ cette solution.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}	
\item On considère une primitive quelconque de la fonction $f$ sur
l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On la note $F$.

Peut-on affirmer que la fonction $F$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[\e^{\frac12}~;~+ \infty\right[$ ? Justifier.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		
Quelle est la position de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à ses tangentes ?
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
		\item Déduire des questions 5. a et 5 .b que pour tout réel $x$ strictement positif:

\[\ln (x) \geqslant  1 - \dfrac 1x.\].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = \dfrac12u_n + \dfrac12n + 1.\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\Aucune justification n'est demandée.\\Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $u_2$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{11}{4}$& \textbf{b.~~} $\dfrac{13}{2}$\\
\textbf{c.~~} 3,5&\textbf{b.~~}2,7
\end{tabularx}
\end{center}

\item La suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} arithmétique de raison $\dfrac12$&\textbf{b.~~} géométrique de raison $\dfrac12$\\
\textbf{c.~~}  constante. &\textbf{d.~~}  ni arithmétique, ni géométrique.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
$n$ désigne un entier naturel non nul. 

On rappelle qu'en langage Python
\og i in range (n)\fg{} signifie que i varie de 0 à $n-1$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
1&def terme (n)\\
2&\qquad U=3\\
3&\qquad for i in range(n): \\
4& \dotfill \\
5&\qquad return U\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

Pour que terme (n) renvoie la valeur de $u_n$, on peut compléter la ligne 4 par : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}U = U/2 + (i$+$1)/2+1	&\textbf{b.~~} U = U/2 + n/2 + 1\\
\textbf{c.~~}U = U/2 + (i$-$1)/2+1 	&\textbf{d.~~} U = U/2 + i/2 + 1
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
\[n \leqslant u_n \leqslant n + 3.\]

\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous tel que AB $= 1$.

On note M le centre de la face BCGF et N le centre de la face EFGH.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.6)
\psframe(0.3,0.3)(4,4)%HGFE
\psline(4,0.3)(5.7,1.4)(5.7,5.1)(4,4)%GCBF
\psline(5.7,5.1)(2,5.1)(0.3,4)%BAE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,1.4)(2,5.1)%HDA
\psline[linestyle=dashed](2,1.4)(5.7,1.4)%DC
\uput[u](2,5.1){A} \uput[u](5.7,5.1){B} \uput[r](5.7,1.4){C} \uput[dr](2,1.4){D}
\uput[l](0.3,4){E} \uput[u](4,4){F} \uput[dr](4,0.3){G} \uput[dl](0.3,0.3){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{D}~;~ \vect{\text{DH}},~\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DA}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner sans justifier les coordonnées des points F et C.
\item Calculer les coordonnées des points M et N.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est normal au plan (HFC).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (HFC).
	\end{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).
\item Démontrer que le point R de coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac23;~\dfrac13\right)$ est le projeté orthogonal du point G sur le plan (HFC).
\item On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (FG) est:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1\\
y&=&1\\ 
z&=&t
\end{array}\right.\:\:(t \in \R).\]

Démontrer qu'il existe un unique point K sur la droite (FG) tel que le triangle KMN soit rectangle en K.
\item Quelle fraction du volume du cube ABCDEFGH le volume du tétraèdre FNKM représente-t-il ?
\end{enumerate}
\end{document}