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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}  
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}} 
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\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne contient 10 boules indiscernables, 5~rouges, 3~jaunes, et 2 ~vertes.

Dans les questions \textbf{1} et \textbf{2} on tire au hasard et simultanément 3 
boules de cette urne. Les réponses seront données sous forme de fractions 
irréductibles.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Soit les évènements suivants :

$A$ \og Les trois boules sont rouges. \fg

$B$ \og Les trois boules sont de la même couleur. \fg

$C$ \og Les trois boules sont chacune d'une couleur différente. \fg 

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les probabilités $p(A) ,~ p(B)$ et $p(C)$. 
		\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le 
nombre de couleurs obtenues.
 
Déterminer la loi de probabilité de $X$. Calculer $E(X)$. 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on remplace les 5 boules rouges par 
$n$ boules rouges où $n$ est un entier supérieur ou égal à 2. L'urne contient 
donc $n + 5$ boules, c'est-à-dire, $n$ rouges, 3 jaunes et 2 vertes. 
On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Soit 
les évènements suivants :
 
$D$ \og Tirer deux boules rouges. \fg
 
$E$ \og Tirer deux boules de la même couleur. \fg

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $D$ est 
\[p(D) = \dfrac{n(n - 1)}{(n + 5)(n + 4)}.\] 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E,~p(E)$ en fonction de $n$. 
Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $ p(E) \geqslant \dfrac{1}{2}$ ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
 
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives i et $-$~ i.
 
Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ distincte 
de $-$~ i associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

\[z' = \dfrac{1 + \text{i}z}{z + \text{i}}.\] 

\begin{enumerate} 
\item Quelle est l'image par l'application $f$ du 
point O ?
\item Quel est le point qui a pour image par l'application 
$f$ le point $C$ d'affixe $1 + \text{i}$ ?
\item Montrer que l'équation $\dfrac{1 + \text{i}z}{z + 
\text{i}} = z $ admet deux solutions que l'on déterminera. 
\item Vérifier que $z' = \dfrac{\text{i}(z - \text{i})}{z + \text{i}}$, en déduire 
$\text{O}M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$ et : 

\[\left(\vect{u\phantom{'}},~\vect{\text{O}M'}\right) = 
\left(\vect{M\text{B}},~\vect{M\text{A}}\right) + \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi~~\text{avec}~ 
k \in \Z.\]
 
\item Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont 
leurs images par l'application $f$ situées sur un même cercle 
$(\mathcal{C})$ que l'on précisera. 
\item Soit $M$ un point du cercle de diamètre [AB] différent de A et de B, montrer que son image $M'$ est située sur l'axe des abscisses.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 (spécialité)\hfill 5 points}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Le plan $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère 
orthonormal direct \Ouv. Soit A et B dans ce plan 
d'affixes respectives $a = 1 + \text{i}~ ;~ b = - 4 - \text{i}$. Soit $f$ la 
transformation du plan $(\mathcal{P})$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ 
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $\vect{\text{O}M'} = 
2\vect{\text{A}M} + \vect{\text{B}M}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $z'$ en fonction de $z$. 
		\item Montrer que $f$ admet un seul point invariant $\Omega$ dont on donnera l'affixe. En déduire que $f$ est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport. 
	\end{enumerate} 
\item On se place dans le cas où les coordonnées $x$ et $y$ de $M$ sont des entiers naturels avec $1 \leqslant x \leqslant 8$ et $1 \leqslant y \leqslant 8$.
 
Les coordonnées $(x'~;~y')$ de $M'$ sont alors : $x' = 3x + 2$ et $y' = 3y - 1$. 
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle $G$ et $H$ les ensembles des valeurs prises respectivement 
par $x'$ et $y'$. Écrire la liste des éléments de $G$ et $H$. 
		\item Montrer que $x'- y'$ est un multiple de 3.
		\item Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité. On se propose de déterminer tous les couples $(x'~;~y')$ de $G \times H$ tels que $m = x'^2 - y'^2$ soit un multiple non nul 
de 60. 
		\item Montrer que dans ces conditions, le nombre $x'- y'$ est un multiple de 6. Le nombre $x'- y'$ peut-il être un multiple de 30 ?
		\item En déduire que, si $x'^2 - y'^2$ est un multiple non nul de 60, $x'+ y'$ est multiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les couples $(x'~;~ y')$ qui conviennent. 
En déduire les couples $(x~;~ y)$ correspondant aux couples $(x'~;~ y')$ trouvés. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Problème\hfill 11 points} 

\medskip
 
$\bigstar~$\textbf{Partie A - Préliminaires} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de la fonction 
$g$ définie sur $\R$ par 

\[g(t) = \text{e}^t - t - 1.\] 

Quel est le minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $]- \infty~;~+ \infty[$ ? 
\item En déduire les inégalités suivantes :
	\begin{enumerate} 
		\item Pour tout réel $t,~\text{e}^t \geqslant t + 1 ,~\text{e}^t > t$ et $-~t\text{e}^{-~t} > - 1$.
		\item Pour tout réel $t$ tel que $t > -~ 1,~\ln (1 + t) \leqslant t$ . 
	\end{enumerate} 
\item En déduire que pour tout réel $x,~\ln \left(1 - 
x\text{e}^{-x}\right) < - x \text{e}^{-x}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}
 
$\bigstar~$\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = x^2 - 2 \ln\left(\text{e}^x - x\right).\] 

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(x) = x^2 - 2x - 2 \ln\left(1 
-~x\text{e}^{-x}\right)$. Quelle est la limite de $f$ en 
$+ \infty$ ? On admettra que la limite de la fonction $f$ en 
$- \infty$ est $+ \infty$. 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)  = \dfrac{2(x - 1)(\text{e}^x - x - 1)}{\text{e}^x - x}$.
 
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
 
Dans un repère orthonormal (unité : 3 cm), on considère la parabole 
$(\mathcal{P})$ d'équation $y = x^2 - 2x$ et $(\mathcal{C})$ la courbe 
représentative de $f$. Montrer que $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{C})$ sont 
asymptotes en $+ ~\infty$. Étudier les positions relatives des courbes 
$(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{C})$. 
\item Donner une équation de chacune des tangentes 
$(\mathcal{D})$ et $\left(\mathcal{D}'\right)$ respectivement aux courbes $(\mathcal{P})$ et 
$(\mathcal{C})$ aux points d'abscisse 0.
\item Tracer dans un même repère les courbes $(\mathcal{P})$ 
et $(\mathcal{C})$ et leurs tangentes $(\mathcal{D})$ et 
$\left(\mathcal{D}'\right)$ . 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

$\bigstar~$\textbf{Partie C - Étude d'une intégrale}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel, on pose 
$u_{n} = \displaystyle\int_{0}^n x \text{e}^{- x}\:\text{d}x.$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $u$ de terme général $u_{n}$ est croissante. 
		\item Calculer $u_{n}$ à l'aide d'une intégration par parties. 
		\item Déterminer la limite de la suite $u_{n}$ . 
	\end{enumerate} 
\item L'aire du domaine (en unités d'aire) limité par les 
droites d'équation $x = 0,~x = n$, la parabole $(\mathcal{P})$ et la 
courbe $(\mathcal{C})$ est définie par 

\[I_{n} = -~2\displaystyle\int_{0}^n \ln\left(1 -x\text{e}^{-x} \right) \:\text{d}x\]
 
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer en utilisant la question 3) des préliminaires 
que $I_{n} \geqslant 2u_{n}$. 
		\item On admet que la suite $\left(I_{n}\right)$ a pour limite $l$. Montrer que : 
$l \geqslant 2$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}