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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\rfoot{\small{6 juin 2005}}
\lfoot{\small{Liban}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Liban 6 juin 2005~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

\textsl{Le candidat doit traiter les trois exercices}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  7 points} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

La production d'une entreprise peut être modélisée par une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ telle que, pour tout entier naturel non nul $n,~ u_{n}$ désigne le nombre d'appareils produits l'année $n$. 

La $1\up{re}$ année, la production est de \np{7500} appareils ; on a donc $u_{1} =  \np{7500}$.

La $6\up{e}$ année, la production est de \np{12000} appareils ; on a donc $u_{6}  = \np{12000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la raison de la suite $\left(u_{n}\right)$ est 900.
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item Au bout de combien d'années la production aura-t-elle dépassé le triple de la production initiale ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une autre entreprise produit la $1\up{re}$ année \np{7500} appareils. On notera, pour tout entier naturel non nul $n, \:v_{n}$, le nombre d'appareils produits l'année $n$. On a donc $v_{1} = \np{7500}$. La production annuelle de cette entreprise augmente de $10\,\%$ chaque année.

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_{2}$ et $v_{3}$.
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Donner sa raison.
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
\item Au bout de combien d'années la production aura-t-elle dépassé le triple de la production initiale ?
\item Combien d'appareils l'entreprise aura-t-elle produit en 13 ans ?
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Rappel : } pour  $q \neq 1, \quad 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points} 

\medskip

Pour engager du personnel, une entreprise organise des tests de sélection.

Parmi les candidats qui se présentent aux épreuves, il y a $60\,\%$ d'hommes.

Une étude statistique montre que l'entreprise engage $70\,\%$ des hommes candidats et $80\,\%$ des femmes candidates.

RAPPEL : La probabilité conditionnelle de A sachant B est $P_{\text{B}}(\text{A})= \dfrac{P(\text{A} \cap \text{B})}{P(\text{B})}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

À l'issue des tests, on interroge une personne au hasard parmi tous tes candidats.

On note

$\bullet~$ H l'évènement \og la personne est un homme \fg{} ;

$\bullet~$ F l'évènement \og la personne est une femme \fg{} ;

$\bullet~$ E l'évènement \og la personne est engagée \fg{} ;

$\bullet~$ $\overline{\text{E}}$  l'évènement complémentaire (ou contraire) de E.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p$(F) que la personne interrogée soit une femme ?
		\item Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne soit pas engagée, sachant que c'est une femme ?
	\end{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilité illustrant cette situation.
\item Calculer la probabilité $p\left(\overline{\text{E}} \cap  \text{F}\right)$ que la personne interrogée soit une femme et qu'elle ne soit pas engagée.
\item Montrer que $p\left(\overline{\text{E}} \right) =  0,26$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans celle partie les résultats seront donnés sous forme de valeurs approchées arrondies au millième.

À l'issue des tests on interroge 4 personnes au hasard. On considérera que ces 4 choix sont deux à deux indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'aucune des 4 personnes ne soit engagée ?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins une des 4 personnes ne soit pas engagée ?
\item Quelle est la probabilité que 2 personnes exactement soient engagées ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le reste de la division euclidienne de 5 par 8 ?

Quel est le reste de la division euclidienne de $5^2$ par $8$ ?
\item Quel est. le reste de la division euclidienne de $5^{86}$ par $8$ ?

Quel est le reste de la division euclidienne de $5^{87}$ par $8$ ?
\item Quel est le reste de la division euclidienne de $965^{87}$ par $8$ ?
\item Soit $n$ un entier naturel.

Montrer que $5^{2n +1} + 5^{2n} + 2$ est un multiple de $8$.
\end{enumerate}
\end{document}