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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Liban 31  mai 2010~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants et on sait que $p(A) = 0,5$ et 
$p(B) = 0,2$.

La probabilité de l'évènement $A \cup B$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
Réponse \textbf{A :~~} 0,1& Réponse \textbf{B :~~} 0,7\\ 
Réponse \textbf{C :~~} 0,6& Réponse \textbf{D :~~} on ne peut pas savoir\\
\end{tabularx}
\end{center}   
\item  Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50\:\% des cahiers ont une reliure spirale et que 75\,\% des cahiers sont à grands carreaux. Parmi les cahiers à grands carreaux, 40\,\% ont une reliure spirale.
 
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu'il soit à grands carreaux est égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
Réponse \textbf{A :~~} 0,3& Réponse \textbf{B :~~} 0,5 \\
Réponse \textbf{C :~~} 0,6& Réponse \textbf{D :~~} 0,75\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
Dans les questions 3. et 4., on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25\,\% de ces stylos-feutres sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3~stylos-feutres. 
\item  La probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
Réponse \textbf{A :~~} 0,250& Réponse \textbf{B :~~} 0,422\\ 
Réponse \textbf{C :~~} 0,578& Réponse \textbf{D :~~} 0,984\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item  La probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'il prenne exactement 2~stylos-feutres verts est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
Réponse \textbf{A :~~} 0,047& Réponse \textbf{B :~~} 0,063\\ 
Réponse \textbf{C :~~} 0,141& Réponse \textbf{D :~~} 0,500\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = x + k\text{e}^{ax}~ \text{où}~ k~ \text{et}~ a~ \text{sont des nombres fixés}.\]

Sur la figure donnée en annexe, la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $g$ et la droite $D$ d'équation $y = x$ sont tracées dans un repère orthogonal (unités : 2~cm pour l'axe des abscisses, 1~cm pour l'axe des ordonnées).

Le point E a pour coordonnées (0~;~6) et le point F a pour coordonnées (3~;~0). On précise que la droite (EF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point E et la courbe $\mathcal{C}$ admet au point B une tangente horizontale.
 
On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, déterminer la valeur de $g(0)$. 
		\item Par lecture graphique, déterminer la valeur de $g'(0)$. 
		\item Exprimer $g'(x)$ en fonction de $a$ et $k$. 
		\item En utilisant les résultats précédents, déterminer les valeurs de $k$ et $a$. On justifiera les calculs.
	\end{enumerate}

\medskip
	 
\textbf{Dans la suite de l'exercice, on prendra} \boldmath $g(x) = x + 6\text{e}^{-0,5x}.$ \unboldmath
	 
\item Démontrer que la droite $D$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
\item On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est située au dessus de la droite $D$. Soit $S$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $S$ sur le graphique. 
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $S$. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $0,1$~cm$^2$ près. 
	\end{enumerate}
	
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer la valeur exacte de l'abscisse du point B. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~20]$ par 
\[f(x) = \left(3\text{e}^2  - x\right)\ln x + 10.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$. 
		\item  Calculer la valeur exacte de $f\left(\text{e}^2\right)$, puis une valeur approchée à $0,01$ près.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout $x$ de $]0~;~20]$,  $f'(x) = - \ln x + \dfrac{3\text{e}^2}{x} - 1$ où $f'$ désigne la dérivée de la  fonction $f$. 
\item On admet que la fonction dérivée $f'$ est strictement décroissante sur $]0~;~20]$ et que son tableau de variations est le suivant : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5)\psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,2.5)
\psline[doubleline=true](2.15,0)(2.15,2)
\psline{->}(2.6,1.8)(4.6,1.1)\psline{->}(5.4,0.9)(7,0.3)
\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.15,2){$0$}\uput[u](5,2){$\text{e}^2$}\uput[u](7.8,2){$20$}
\rput(1,1){$f'(x)$} \rput(5,1){$0$}\rput(7.55,0.2){$f'(20)$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du tableau de variations, donner le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~20]$. 
		\item  Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~20]$ et dresser son tableau de variations sur cet intervalle.
	\end{enumerate}	 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, sur l'intervalle [0,6~;~ 0,7], l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution notée $\alpha$. À la calculatrice, donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ près par excès. 
		\item  Démontrer que $f(x)$ est négatif pour tout $x \in ]0~;~\alpha[$ et que $f(x)$ est positif pour tout $x \in ]\alpha~;~20]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une entreprise produit et vend chaque semaine $x$ milliers de DVD, $x$ appartenant à $]0~;~20]$.
 
Le bénéfice réalisé est égal à $f(x)$ milliers d'euros où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
 
En utilisant les résultats de la partie A :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ; 
\item  déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10~euros près, de ce bénéfice maximal. 
\end{enumerate}  

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'évolution du chiffre d'affaires du groupe de distribution Enville pour la période 2004-2008 est donnée dans le tableau 1 ci-dessous:

\medskip

Tableau 1 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année									&2004 	&2005 		&2006 		&2007 &2008\\ \hline 
Progression du chiffre d'affaires par 
rapport à l'année précédente			&4,7\:\%&10,6\,\% 	&4,1\,\% 	&5,8\,\% 	&7,5\,\%\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
Par exemple, le chiffre d'affaires du groupe a augmenté de 10,6\,\% entre le 31 décembre 2004 et le 31 décembre 2005. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'une valeur approchée à $0,1$~près du pourcentage annuel moyen d'augmentation, est $6,5$. 
		\item  En 2008, ce groupe a réalisé un chiffre d'affaires de 59,5~milliards d'euros. La direction prévoit une croissance annuelle de 6,5 \,\% pour les années suivantes. Donner une estimation à $0,1$~milliard d'euros près du chiffre d'affaires du groupe pour l'année 2010.
	\end{enumerate}
 
\item L'évolution, sur 8 ans, du chiffre d'affaires du groupe Aupré, concurrent du groupe Enville, est donnée par le tableau 2 ci-dessous:
 
\medskip

Tableau 2 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année						&2001 	&2003 	&2005 	&2007 	&2008\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$		&1 		&3 		&5 		&7 		&8 \\ \hline
Chiffre d'affaires exprimé en 
milliards d'euros $y_{i}$	&64,8 	&68,7 	&72,7 	&77,1 	&82,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip  

Pour cette question tous les résultats seront arrondis au dixième près. 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ en prenant comme origine le point de coordonnées (0~;~60) (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 0,5~cm sur l'axe des ordonnées). 
		\item  En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$. Tracer cette droite sur le graphique. 
		\item  À l'aide de l'ajustement précédent, déterminer graphiquement une estimation du chiffre d'affaires du groupe Aupré pour l'année 2010. On laissera apparents les traits de construction.
	\end{enumerate}
	 
\item Dans cette question, on suppose qu'à partir de 2008 le chiffre d'affaires du groupe Enville progresse chaque année de 6,5\:\% et celui du groupe Aupré de 3\:\%. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $59,5 \times 1,065^n > 82,1 \times 1, 03^n$. 
		\item Déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Deux chaînes de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deux émissions concurrentes. On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant. 

La première semaine, 70\,\% de ces téléspectateurs ont regardé la chaîne A.

\medskip
 
Une étude statistique montre que :
 
15\,\% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante. 

10\,\% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine 
suivante. 
On note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de téléspectateurs des chaînes A et B la $n$-ième semaine et $P_{n}$ la matrice ligne $\left(a_{n} \quad  b_{n}\right)$. On a donc $P_{1} = (0,7 \quad  0,3)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation. 
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe.
 	\end{enumerate}
	 
\item Calculer $M^3$ à l'aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant à $10^{-3}$ près. Quelle est la répartition des téléspectateurs entre les deux chaînes lors de la quatrième semaine ? 
\item On considère la matrice ligne $P = (a \quad b)$, où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a + b = 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ pour que $P = PM$. 
		\item Interpréter les deux valeurs trouvées.
	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout entier naturel $n > 0$, on a : $a_{n} = 0,4 + 0,3 \times \left(0,75^{n - 1}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $a_{n} < 0,5$. 
		\item À partir de quelle semaine l'audience de l'émission de la chaîne B dépassera-t-elle celle de l'émission de la chaîne A ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\textbf{Annexe à remettre avec la copie}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2 (commun à tous les candidats)}
\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.714cm,yunit=0.857cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(5.5,10)
\psdots(0,6)(3,0)(2.197,4.17)
\uput[ur](0,6){E}\uput[u](2.197,4.17){B}\uput[ur](3,0){F}
\uput[u](4.5,5.1){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](5,5){$D$}
\uput[d](5.3,0){$x$}\uput[l](0,9.8){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.15pt]{<->}(1.197,4.17)(3.197,4.17)
\psplot{-1}{5.5}{x}
\psline(-1,8)(3.5,-1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1}{5.5}{6 2.71828 0.5 x mul exp div x add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,0)(5.5,10)
\multido{\n=0+1.0}{7}{\psline[linecolor=orange](\n,0)(\n,10)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-0.99)(5.5,9.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}