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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Francis Cortado
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 27 mai 2014}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Liban 
~\decofourright\\27 mai 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu'en moyenne, 40\,\% des clients sont des familles, 25\,\% des clients sont des personnes seules et 35\,\% des clients sont des couples. 

Il note aussi que : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 70\,\% des familles laissent un pourboire; 
\item[$\bullet~~$] 90\,\% des personnes seules laissent un pourboire; 
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des couples laissent un pourboire. 
\end{itemize}

Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria. 

On s'intéresse aux évènements suivants: 

$F$ : \og la table est occupée par une famille \fg 

$S$ : \og la table est occupée par une personne seule\fg 

$C$ : \og la table est occupée par un couple \fg 

$R$ : \og le serveur reçoit un pourboire \fg 

On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ et $p_B(A)$ la probabilité de $A$, sachant $B$. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item D’après les données de l’énoncé, préciser les probabilités $p(F)$ et $p_S(R)$. 
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{0,70}
		  \TR{$\overline{R}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$C$}}
	  {
		  \TR{$R$}
		  \TR{$\overline{R}$}	
	  }
	\pstree{\TR{$S$}\taput{0,35}}
	  {
		  \TR{$R$}
		  \TR{$\overline{R}$}	
	  }	
}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(F \cap R)$. 
		\item Déterminer $p(R)$. 
	\end{enumerate}
\item  Sachant que le serveur a reçu un pourboire, calculer la probabilité que ce pourboire vienne d'un couple. Le résultat sera arrondi à $10^{- 3}$ . 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un soir donné, associe le montant total en euro des pourboires obtenus par le serveur. 

On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 15$ et d'écart-type $\sigma = 4,5$. 

\emph{Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats arrondis à }\:$10^{- 2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer: 
\begin{enumerate}
\item  la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros. 
\item $p(X \geqslant  20)$. 
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à 20 euros sachant que ce montant est compris entre 6 et 24 euros. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et L} 

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ 
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.\\ 
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification. \\
Chaque réponse exacte rapportera $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. }

\medskip

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour. 

En 2010, en France, la proportion notée $p$ de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de $0,236$ 
\begin{flushright}(\emph{Source : Inpes})\end{flushright} 

On a $p = 0,236$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à $10^{-3}$ près: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ 0,136&\textbf{b.}~~ 0&\textbf{c.}~~ 0,068&\textbf{d.}~~ 0,764
\end{tabularx}
\medskip 

\item Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est : 

(Les bornes de chaque intervalle sont données à $10^{-3}$ près) 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~  [0,198 : 0,274] &\textbf{b.}~~[0,134 ; 0,238]&\textbf{c.}~~ [0,191 ; 0,281]&\textbf{d.}~~ [0,192; 0,280] 
\end{tabularx}
\medskip 

\item La taille n de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,01, vaut: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$n = 200$&\textbf{b.}~~  
 $n = 400$&\textbf{c.}~~ $n = \np{21167}$&\textbf{d.}~~ $n = \np{27707}$
 \end{tabularx}
 \medskip 

\item Dans un échantillon de 250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, 99 sont des filles. 

Au seuil de 95\,\%, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est: 

(\emph{Les bornes de chaque intervalle sont données à }\: $10^{- 2}$ près) 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~[0,35 ; 0,45]&\textbf{b.}~~ [0,33 ; 0,46]& 
\textbf{c.}~~ [0,39 ; 0,40]& 
\textbf{d.}~~ [0,30 ; 0,50]
\end{tabularx}
\medskip 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points} 

{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L }

\medskip

La médiathèque d'une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré \np{2500} inscriptions en 2013. 

Elle estime que, chaque année, 80\,\% des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 400 nouveaux adhérents. 

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(a_n\right)$. 

On note $a_0 = \np{2500}$ le nombre d'inscrits à la médiathèque en 2013 et $a_n$ représente le nombre d'inscrits à la médiathèque pendant l'année $2013 + n$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$.
		\item  Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a la relation $a_{n+1} = 0,8 \times  a_{n} + 400$. 
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n, \: v_{n} = a_{n} - \np{2000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0} = 500$ et de raison $q = 0,8$. 
		\item En déduire que le terme général de la suite $\left(a_{n}\right)$ est $a_{n} = 500 \times 0,8^n + \np{2000}$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. 
		\item Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhérents à la médiathèque si le schéma d'inscription reste le même au cours des années à venir ? 
	\end{enumerate}
\item On propose l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :& $N$ entier\\ 
& $A$ réel\\
Initialisation : &$N$ prend la valeur 0\\ 
&$A$ prend la valeur \np{2500}\\ 
Traitement :& Tant que $A - \np{2000} > 50$\\
&\begin{tabular}{l l} 
\hspace{0.4cm}&$A$ prend la valeur $A\times 0,8 + 400$\\ \hspace{0.4cm}&$N$ prend la valeur $N + 1$
\end{tabular}\\ 
&Fin du Tant que\\ 
Sortie :& Afficher $N$.\\\hline
\end{tabular} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3 	\hfill 5 points}

\textbf{ES Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
On a schématisé ci-dessous le plan d'une MJC (Maison de la Jeunesse et de la Culture) par un graphe dont les sommets sont les salles et les arêtes sont les passages (portes, couloirs ou escaliers) entre les salles. 
On appelle H le hall d'entrée et B le bureau du directeur.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(8.5,2.5)
\psdots(0,0)(2,2)(6,2)(8,0)(6,-2)(4,0)(2,-2)%HFABECD 
\pspolygon(0,0)(2,2)(6,2)(8,0)(6,-2)(2,-2)%HFABCDH
\psline(2,2)(6,-2)(6,2)(2,-2)
\uput[ul](2,2){F} \uput[ur](6,2){A} \uput[l](0,0){H} 
\uput[r](8,0){B} \uput[dr](6,-2){C} \uput[u](4,0){E} 
\uput[dl](2,-2){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

En fin de journée, un agent de service fait le tour de la MJC pour récupérer dans chaque salle (bureau du directeur et hall inclus) les objets oubliés par les enfants.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Préciser si ce graphe est connexe en justifiant la réponse. 
\item Déterminer, en justifiant, si l'agent de service peut passer par toutes les salles en utilisant une fois et une seule chaque passage. 
\item On range les sommets par ordre alphabétique. 

Donner la matrice d'adjacence $M$ associée au graphe. 
\item On donne : 

\[M^4 = \begin{pmatrix}
31	&15 &26 &21 &27 &18 &12\\ 
15 	&12 &15 &12 &18 &12 &6\\ 
26	&15 &31 &18 &27 &21 &12\\ 
21 	&12 &18 &20 &17 &18 &5\\ 
27	&18	&27 &17 &34 &17 &16\\ 
18 	&12 &21 &18 &17 &20 &5\\ 
12 	&6 	&12 &5 	&16 &5 &10\\
\end{pmatrix}\] 

En déduire le nombre de chemins de longueur 4 entre les sommets B et H.
\item On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps en minute mis pour passer entre les différentes salles en ouvrant et fermant les portes à clé.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(8.5,2.5)
%\psgrid
\psdots(0,0)(2,2)(6,2)(8,0)(6,-2)(4,0)(2,-2)%HFABECD 
\pspolygon(0,0)(2,2)(6,2)(8,0)(6,-2)(2,-2)%HFABCDH
\psline(2,2)(6,-2)(6,2)(2,-2)
\uput[ul](2,2){F} \uput[ur](6,2){A} \uput[l](0,0){H} 
\uput[r](8,0){B} \uput[dr](6,-2){C} \uput[u](4,0){E} 
\uput[dl](2,-2){D}
\uput[ul](1,1){1}\uput[u](4,2){3}\uput[ur](7,1){2}
\uput[dr](7,-1){2}\uput[d](4,-2){1}\uput[dl](1,-1){2}
\uput[dl](3,1){1}\uput[dr](5,1){2}\uput[ul](3,-1){1}\uput[ur](5,-1){1}
\uput[r](6,0){4} 
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par 

\[f(x) = x + 1 + \text{e}^{- x + 0,5}.\] 

On a représenté en annexe, dans un plan muni d'un repère orthonormé: 

\setlength{\parindent}{6mm}
\begin{itemize}
\item  la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ; 
\item  la droite $\Delta$ d'équation $y = 1,5x$. 
\end{itemize}
\setlength{\parindent}{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~5], on a $f' (x) = 1- \text{e}^{- x +0,5}$ où $f’$ désigne la fonction dérivée de $f $.
		\item Résoudre dans l'intervalle [0~;~5] l'équation $f'(x) = 0$ . 
		\item Étudier le signe de $f' (x)$ sur l'intervalle [0~;~5]. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~5]. 
	\end{enumerate}
\item On note $\alpha$ l' abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Delta$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, par lecture graphique, un encadrement de $\alpha$ à 0,5 près. 
		\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle [0~;~5] l'inéquation $f(x) < 1,5x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Application} 

\medskip

Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à raide d'une machine. 

La fonction $f$, définie dans la partie A, représente le coût d'utilisation de la machine en fonction de la quantité $x$ de cartes produites, lorsque $x$ est exprimé en centaines de cartes et $f (x)$ en centaines d’euros. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la partie A, le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d'utilisation de la machine. 
		\item Chaque carte fabriquée par la machine est vendue l,50~\euro . 

La recette perçue pour la vente de $x$ centaines de cartes vaut donc $1,5 x$ centaines d'euros. Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d'euros, par la vente de $x$ centaines de cartes est donné par $B(x) = 0, 5x -1- \text{e}^{- x + 0,5}$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $B$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~5]. 
		\item  Montrer que, sur l'intervalle [0~;~5], l'équation $B(x) = 0$ admet une unique solution comprise entre 2,32 et 2,33. 
	\end{enumerate}
\item On dira que l'entreprise réalise un bénéfice lorsque $B(x) > 0$. 

Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l'entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice. 
\end{enumerate}

\begin{center}

\newpage

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1.5cm} 

\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4}\end{flushleft} 

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.4)(8,8)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,8)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(8,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5.2}{1.54 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 0.5 x sub exp x add 1 add}
\psdots[dotscale=1.4](0,2.64872)(5,6)
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](5,7.7){$\Delta$}\uput[r](5,5.75){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}