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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat ES }
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Liban juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Sur le document ci-dessous, le graphique est celui de la courbe $\Gamma$
 représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty$[.
  
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(0,-1)(10,4)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(10,0)
\psline[linewidth=1pt](0,-1)(0,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(0,2.728)(10,2.728)
\psline(1,4)(6,-1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1,0){I} \uput[ul](2,2.728){A} \uput[r](3,2){B}
\uput[u](9,2.728){$y = ~$ e} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[u](6,2.728){T}
\uput[ur](2,3){T$'$} \uput[u](5.5,0.4){$\Gamma$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{10}{x 1 sub 2.728  3 x sub exp   mul} 
\psdots[dotscale=0.9](2,2.71828)(3,2)  
\end{pspicture}
\end{center}

La courbe $\Gamma$ passe par les points I(1~;~0), A(2~;~e) et B(3~;~2) où : e = exp (1). La droite T est tangente à $\Gamma$ au point A et elle est parallèle à l'axe des abscisses.

La droite T$'$ est tangente à $\Gamma$ en B et elle passe par le point de
 coordonnées (5~;~0).
 
La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$.

L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\Gamma$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À l'aide d'une lecture graphique :
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les valeurs de $f(1),\: f(2),\: f(3)$, puis de $f'(2)$ et $f'(3)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Déterminer une équation de la droite T$'$.
		\item Donner la limite de $f$ en +$~\infty$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$~; donner le signe de $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $g$ est définie, pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~+ 
 \infty[$, par 
 
 $g(x) = \ln (f(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les valeurs de $g(2),~ g(3)$, puis de $g'(2)$ et $g'(3)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$.
		\item Déterminer les limites de $g$ en 1 et en +~$  \infty$.
		\item Dresser en le justifiant le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
		\item En utilisant la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $f$, donner une valeur approchée des solutions de l'équation $g(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un jeu de société est composé d'un grand nombre de fiches qui proposent
 chacune trois questions indépendantes : la première porte sur la géographie, la seconde sur l'histoire et la troisième sur les arts. À tour de rôle, chaque joueur tire une fiche au hasard et doit répondre aux trois questions dans l'ordre où elles sont proposées.
 
Le meneur de jeu remplit un bulletin réponse :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
\quad G \quad  &\quad  H \quad &\quad  A\quad \\ \hline
 & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
dans lequel, pour chaque question, il reporte F si la réponse est fausse, J si elle est juste. Ainsi, si le joueur a bien répondu aux questions sur
 la géographie et sur les arts, mais n'a pas trouvé la bonne réponse à la
 question sur l'histoire, le bulletin réponse à cette fiche sera :
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
\quad G \quad  &\quad  H \quad &\quad  A \quad \\ \hline
\quad J \quad &\quad F \quad &\quad J \quad\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Le résultat sera noté : JFJ.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la liste des huits résultats différents que l'on peut obtenir pour une fiche.
 		\item À chaque bulletin réponse est attribuée une note :  une réponse juste, J, fait gagner 5 points ; une réponse fausse ou l'absence de réponse, F, fait perdre 2 points.
 
Donner la liste des résultats qui conduisent à un total de 8 points.
	\end{enumerate}
\item La probabilité que Marc donne la réponse juste à une question, qu'elle soit sur la géographie, sur l'histoire ou sur les arts, est de 0,6.
 
Marc tire une fiche et répond aux trois questions.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité que Marc obtienne le bulletin réponse cité en exemple ci-dessus ?
		\item Montrer que la probabilité que son bulletin réponse conduise à une note de 8 points est 0,432.
	\end{enumerate}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la note obtenue par Marc pour un bulletin réponse.
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser toutes les valeurs (positives ou non) prises par $X$.
		\item Établir la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Maud vise une cible avec une fléchette. La probabilité qu'elle atteigne la cible est $\dfrac{2}{3}$.
 
Les résultats des lancers successifs sont supposés indépendants.

\begin{enumerate} 
\item Si Maud effectue cinq lancers successifs, quelle est la probabilité
 qu'elle atteigne exactement deux fois la cible ?
 \item Maud et Paul décident de jouer des billes avec la règle du jeu 
suivante :

- Maud mise des billes puis lance une fléchette.

- Avant le premier lancer, Maud mise une bille.

- À chaque lancer :

$\bullet~~$si elle rate la cible, elle perd sa mise que Paul récupère ; le jeu continue ; elle triple sa mise avant de lancer une nouvelle fléchette ;
 
$\bullet~~$si elle atteint la cible, elle récupère sa mise et Paul lui donne autant de billes que ce qu'elle vient de miser; le jeu s'arrête.
 
On suppose dans cette question que le jeu n'est pas limité par le nombre de billes.
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $a_n$ la mise de Maud avant le $(n + 1)$-ième lancer. Ainsi $a_0 = 1,\: a_1 = 3$.
 
Donner les valeurs de $a_2$ et $a_3$.

Quelle est la nature de la suite $\left(a_{n}\right)$ ?

En déduire la valeur de $a_n$ en fonction de $n$.
		\item Maud a raté la cible aux $n$ premiers lancers : elle a donc perdu les mises $a_0,~a_1,\:\cdots,\: a_{n-1}$.
 
Montrer qu'elle a perdu $\dfrac{1}{2} \left(3^n - 1\right)$ billes depuis
 le début du jeu.
	\end{enumerate} 
\item Lorsque Maud et Paul commencent le jeu défini dans le 2., ils ont chacun $160$~billes.
	\begin{enumerate} 
		\item Si Maud perd à toutes les parties successives, quel est le nombre $k$ maximum de lancers qu'elle peut effectuer ?
		\item Quelle est la probabilité que cette situation se réalise et que Maud atteigne la cible au $k$-ième lancer ?
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Le document ci-après est à compléter et à rendre avec la copie}.

La fonction $h$ est définie sur l'intervalle [0~;~8] par : 

\[h(x) = x^2 + \dfrac{16x}{2x + 1}  - 8 \ln(2x + 1).\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que : $h'(x) = \dfrac{2x(2x + 5)(2x - 3)}{(2x + 1)^2},~ 
h'$ désignant la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle [0~;~8].
\item Étudier les variations de $h$ sur l'intervalle [0~;~8].
\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ a une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{3}{2}~;~8\right]$.

Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ arrondie à 0,01 près.
\item Déduire des résultats précédents le signe de $h$ sur l'intervalle 
[0~;~8].
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $M$ est définie sur l'intervalle [0~;~8] par :

\[M(x) = x + \dfrac{8}{2x + 1}.\]

La fonction $C_{\text{T}}$ est la primitive de la fonction $M$ sur 
l'intervalle [0~;~8]  qui s'annule pour $x = 0$. Calculer 
$C_{\text{T}}(x)$.

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise produit une quantité variable $x$ d'appareils ($x$ est exprimé en milliers d'appareils) dont le coût marginal $M$ est la fonction définie dans la \textbf{partie B.}. Dans la suite du problème, tous les coûts seront exprimés en milliers de francs.

On modélise le coût total de production de $x$ milliers d'appareils, pour $x$ appartenant à $\left[\frac{1}{4}~ ;~8\right]$ par la fonction $C_{\text{T}}$ définie dans la \textbf{partie B}.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que le coût moyen, par millier d'appareils, est défini sur  l'intervalle $\left[\frac{1}{4}~;~8\right]$ par :

\[C_{m}(x) = x + 4 \dfrac{\ln (2x + 1)}{x}.\]
 
		\item Calculer $C'_{m}(x)$, où $C'$ désigne la fonction dérivée de $C$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $\left[\frac{1}{4}~ 
;~8\right],~C'_{m}(x) = \dfrac{h(x)}{2x^2}$ ,~où $h$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A.}.
		\item Étudier les variations de la fonction $C_{m}$, et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour quelle production, arrondie à la dizaine près, le coût moyen, par millier d'appareils, est-il minimum ?
		\item Vérifier que, pour cette valeur approchée de la production, le coût moyen et le coût marginal ont la même valeur, à $5$~francs près.
	\end{enumerate}
\item Le graphique donné ci-après est celui de la courbe $\mathcal{C}$
représentative de la fonction $M$ dans le repère \Oij,
où 2~cm représentent \np{1000} appareils sur l'axe des abscisses et $2$~cm
représentent \np{1000}~F sur l'axe des ordonnées.

	\begin{enumerate} 
		\item On note $\mathcal{C}'$ la courbe représentative de la fonction 
$C_{m}$ dans le repère \Oij{} précédent. Tracer la courbe $\mathcal{C}'$ sur le document donné ci-après.
		\item  Par une lecture graphique que l'on expliquera, retrouver le résultat de la question \textbf{2. b.}.

\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8,9)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(8,9)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(8,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(1,1)
\psline[linewidth=1.15pt]{<->}(0.5,3.5)(2.5,3.5)
\uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0.,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[d](7,7.5){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](6,0){Milliers d'appareils}
\uput[l]{90}(0,7){Milliers de francs}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.05}{8}{8 2 x mul 1 add div x add}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}     
\end{enumerate}
\end{document}