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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2003}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Liban juin 2003~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Aucun détail des calculs statistiques effectués à la calculatrice n'est demandé dans cet exercice.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution de la production annuelle de turbots dans une ferme aquacole.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1997	&1998	&1999		&2000		&2001		&2002\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1		&2		&3			&4			&5			&6\\ \hline
Production $y_i$		&650	&760	&\np{1190}	&\np{1620}	&\np{2600}	&\np{5050}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal R : sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2~cm pour une année, sur l'axe des ordonnées, on placera 600 à l'origine et on choisira 1 cm pour 200 turbots.

\item D'après l'allure du nuage quel type d'ajustement peut-on envisager ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les résultats des questions \textbf{1, 2 et 3} seront arrondis à $10^{-3}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On pose $z_i = \ln (y_i)$.

Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant :

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1997 	&1998	&1199	&2000	&2001	&2002\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
$z_i$					&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points associé à la
série $(x_i~;~z_i)$.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$.
		\item Exprimer $y$ en fonction de $x$.

En utilisant la question précédente, répondre aux deux questions 
suivantes :

Quelle production peut-on prévoir en 2005 ?

À partir de quelle année peut-on prévoir que la production annuelle dépassera 
\np{30000}~turbots ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Un théâtre propose deux types d'abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.

On considère un groupe de \np{2500}~personnes qui s'abonnent tous les ans.
$n$ étant un entier naturel, on note :

$a_n$ la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement A l'année 
$n$ ;

$b_n$ la probabilité qu'une personne ait choisi un abonnement B l'année 
$n$ ;

$P_n$ la matrice $[a_n~ b_n]$ traduisant l'état probabiliste à l'année $n$.

Tous les ans 85\,\% des personnes qui ont choisi l'abonnement A et 55\;\% des personnes qui ont choisi l'abonnement B conservent ce type d'abonnement l'année suivante. Les autres personnes changent d'abonnement.

\begin{enumerate} 
\item On suppose que, l'année zéro, \np{1500}~personnes ont choisi l'abonnement A et \np{1000} l'abonnement B.
 Déterminer l'état initial $P_0 = [a_0 \quad b_0]$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
		\item Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.
		\item En déduire le nombre d'abonnés pour chaque type d'abonnement 
l'année un.
	\end{enumerate}
\item Soit $P = [x\quad y]$ l'état stable, où $x$ et $y$ sont deux nombres réels
 positifs tels que $x +y = 1$.

Justifier que $x$ et $y$ vérifient l'équation $x = 0,85 x + 0,45 y$.

Déterminer $x$ et $y$.

En déduire la limite de la suite $(a_n)$ quand $n$ tend vers plus l'infini.

Interpréter le résultat précédent en terme de nombre d'abonnements 
de type A.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

La commercialisation d'un article sur un marché suit une fonction d'offre 
notée $f$ et une fonction demandée notée $g$.

Elle sont définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{8} \quad \text{et} \quad g(x) = 
\dfrac{120}{\text{e}^x + 15}\]
	
où $x$ représente la quantité exprimée en milliers d'articles, $f(x)$ représente le prix de vente exprimé en euro pour une quantité $x$ offerte, et $g(x)$ représente le prix de vente exprimé en euro pour une quantité $x$ demandée.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité 
graphique : 2 cm).

On désigne respectivement par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans ce repère.

La courbe $\mathcal{C}_f$ est donnée dans le repère \Oij{} sur l'annexe jointe au sujet.

L'annexe sera complétée et jointe à la copie.

\bigskip

\textbf{Partie A Étude de la fonction demande}

\textbf{Détermination de la quantité échangée et du prix d'équilibre du marché}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.

En déduire l'existence d'une asymptote que l'on précisera.
\item $g'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $g$ sur 
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

Justifier que : $g'(x) = -\dfrac{120\text{e}^x}{\left(\text{e}^x	
+15\right)^2}$.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur 
$[0~;~+ \infty [$ puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau de valeurs (arrondir les
résultats à $10^{-1}$).

\[\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5&1	&2	&3	&3,5&4	&5	&6 	&7\\ \hline
$g(x)$ 	&	&	&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe 
$\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 0.
		\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ et la tangente T sur l'annexe jointe au sujet.
	\end{enumerate}
\item On admet que sur l'intervalle $[0~;~+ \infty [$ 
l'équation $f(x) = g(x)$ a une solution unique $n$ appelée quantité échangée. On note $p = f(q) = g(q)$ le prix d'équilibre correspondant.
	\begin{enumerate} 
		\item Faire apparaître sur le graphique les valeurs $p$ et $q$.
		\item Vérifier que $q = \ln (25)$.

En déduire la valeur de $p$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Calcul du \og surplus du consommateur \fg{}}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $\mathcal{D}$ est le domaine du plan défini par 
$\{M(x~;~y) / 0 \leqslant x \leqslant q \quad \text{et} \quad p \leqslant 
y \leqslant g(x)\}$, où $p$ et $q$ sont les valeurs déterminées dans la 
partie \textbf{A.  5.}.

Hachurer ce domaine $\mathcal{D}$ sur l'annexe jointe au sujet.
\item Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ 
\infty[$ par : 

\[G(x) = 8\left[x - \ln  \left(\text{e}^x + 15\right)\right]\]

Démontrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item On appelle \og surplus du consommateur \fg{} (en milliers 
d'euro) le nombre :

\[R = \displaystyle\int_0^q g(x)\:\text{d}x - pq\]

Justifier que $R$ représente, en unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$.

Calculer la valeur exacte de $R$.

Donner une valeur approchée de $R$ à l'euro près.
\end{enumerate}

\newpage

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
    
\vspace{1cm}    
\begin{pspicture}(7,7)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}