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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Liban juin 2004~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
L'utilisation d'une  calculatrice  est autorisée.

Des éléments de formulaire sont joints au sujet.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Sur le document réponse \no 1  ci-joint, la courbe $\mathcal{C}_1$ représente, dans le plan  muni d'un repère orthogonal, une fonction $f$ définie dans l'intervalle $[-1~;~6]$.

On sait que la courbe $\mathcal{C}_1$ :

\setlength\parindent{5mm}
$\bullet~$	coupe l'axe des ordonnées en le point A, d'ordonnée 3, et l'axe des abscisses en le point B, d'abscisse b,

$\bullet~$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 2,

$\bullet~$	admet la droite T$_{\text{A}}$ pour tangente au point A.
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A Étude graphique de la fonction} \boldmath  $f$ 
\unboldmath

\medskip

Répondre sans justification aux questions \textbf{A. 1,  A. 2,  A. 3} et 
\textbf{A. 4} sur le document  réponse n° 1.

\bigskip

\textbf{Partie B Étude de la fonction} \boldmath  $g = \ln f$ \unboldmath

\medskip

On étudie maintenant la fonction $g$ qui à $x$ associe $g(x) = \ln [f(x)]$, 
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\emph{Chacune des réponses devra \^etre justifiée avec soin sur la 
copie}.

\textbf{B. 1}	Préciser l'intervalle de définition I de la fonction $g$.

\textbf{B. 2}	Déterminer la limite de la fonction $g$ quand $x$ tend 
vers $b$.

\textbf{B. 3}	Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle 
I. Dresser son tableau de variations.

\textbf{B. 4}	Calculer $g'(0)$ puis $g'(2)$ ;

\textbf{B. 5}	Résoudre, dans I, l'inéquation $g(x) \geqslant  - \ln 
2$.

On utilisera les résultats de la partie \textbf{A}.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les résultats approchés seront donnés sous forme décimale, 
arrondis à} $10^{-3}$.

\emph{Pour répondre aux questions on pourra s'aider d'arbres 
pondérés.}

\medskip

Un centre d'entraînement réputé se voit confier de très nombreux chevaux,
 juments et mâles, spécialisés en trotteurs ou en galopeurs selon leurs aptitudes. Ainsi le centre comprend $62\:\%$ de galopeurs, $30\,\%$ de juments dont $35\,\%$ font du galop.

On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
$\bullet~$ $J$ : \og Le cheval est une jument \fg,

$\bullet~$ $T$ : \og Le cheval est un trotteur \fg.
\setlength\parindent{0mm}

Un lad, chargé des soins, choisit au hasard un cheval du centre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit un trotteur ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit une jument qui fasse du galop ?
		\item Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit un mâle qui fasse du galop ?
	\end{enumerate}
\item Le lad a choisi un mâle. Quelle est la probabilité que ce ne soit pas un trotteur ?

Tôt le matin, il faut transporter quatre chevaux, du centre d'entraînement à l'hippodrome.
 Pour cela, un apprenti choisit les chevaux au hasard et de manière 
 indépendante ; on admet que le nombre de chevaux dans ce centre est suffisamment grand pour assimiler le choix dès quatre chevaux à des tirages successifs avec remise.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait exactement deux trotteurs parmi les quatre chevaux choisis.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un galopeur parmi les quatre chevaux choisis.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Lors d'une partie de fléchettes, un joueur envoie une à une des fléchettes vers une cible.
 La tentative est réussie quand la fléchette atteint la cible, elle échoue dans le cas contraire.

Pour la 1\up{re} fléchette, les chances de réussite ou d'échec sont égales.

Pour chaque lancer suivant, la probabilité qu'il réussisse dépend uniquement du résultat du lancer précédent :

$\bullet~$ Elle est de $0,7$ quand le lancer précédent atteint la cible ;

$\bullet~$ Elle est de $0,4$ quand il a échoué.

On note :

$\bullet~$ $C_n$ l'évènement \og La $n$up{e} fléchette atteint la 
cible \fg,

$\bullet~$ $E_n$ l'évènement \og Le $n$\up{e} lancer a échoué \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La partie ne comporte que deux fléchettes. Traduire la situation à l'aide d'un arbre  pondéré. En déduire la probabilité pour que la $2$\up{e} fléchette atteigne la cible.

\textbf{Dans toute la suite de l'exercice,} \boldmath $n$ 
\unboldmath \textbf{désigne un entier supérieur ou égal à 1 et on considère
 que le jeu se déroule avec} \boldmath $n$ \unboldmath \textbf{fléchettes}.

On désigne par $c_n$ la probabilité d'atteindre la cible lors du $n$\up{e} lancer et par $e_n$ la probabilité que ce lancer échoue.

On note $P_n = \left[ c_n \quad e_n\right]$ la matrice ligne qui traduit l'état probabiliste 
lors du $n$\up{e} lancer.

La matrice P$_1 = [0,5 \quad  0,5]$  traduit donc l'état probabiliste initial lors du 
1\up{e} lancer.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.
		\item Donner l'état P$_2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la relation $P_{n+1} =  P_n \times \text{A}$ où A est la matrice de transition $\begin{pmatrix}
0,7 &  0,3\\
0,4 &  0,6\\ \end{pmatrix}$,
exprimer la probabilité $c_{n+1}$ d'atteindre la cible lors du $n +1$\up{e} lancer en fonction des probabilités $c_n$ et $e_n$.
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $c_{n+1} = 0,3 c_n +  0,4.$
	\end{enumerate}
\item Soit la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, 
par $u_n = c_n - \dfrac{4}{7}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,3.
		\item En déduire $u_n$ puis $c_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la limite de $c_n$ quand $n$ tend vers l'infini. Interpréter cette limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A Étude de propriétés de quelques fonctions}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~900]  par :

\[f (x) = \np{7500} \text{e}^{0,002x}\qquad  \text{et} \qquad  g(x) = 15 
\text{e}^{0,002x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une primitive de la fonction $g$.
\item Soit la fonction $h$ définie sur [0~;~900] par $h(x) =  \dfrac{f(x)}{x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $h$ en $0$.
		\item Calculer la dérivée de $h$ et montrer que la fonction $h$ admet un minimum, noté $b$, pour une valeur de $x$, notée $a$.
	\end{enumerate}

Dans le repère orthogonal ci-joint (document réponse \no 2)  sont tracées les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$ dans l'intervalle [0~;~900] ainsi que la droite (D) d'équation $y = 45$.
\item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$ se coupent au point $I (a~;~b)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans [0~;~900] l'équation $g (x) =  45$. Soit $x_{0}$ la solution de cette équation.
		\item Justifier, que l'équation $h(x) = 45$ possède exactement deux solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ dans l'intervalle ]0~;~900] ($x_{1}$ désignera la plus petite des deux solutions, $x_{2}$ la plus grande).

Donner une valeur arrondie à l'unité de $x_{1}$ et $x_{2}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^{x_{1}}  [45 - g(x)]\: \text{d}x = f(0)$.

On note $E$ le point d'intersection de la droite (D) avec $\mathcal{C}_{g}$ , $R$ et $F$ les points 
d'intersection de cette droite (D) avec $\mathcal{C}_{h}$ , tandis  que $B$ et $L$ désignent les points d'intersection de l'axe des ordonnées avec respectivement la droite (D) et la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
\item Placer sur l'axe des abscisses les nombres $a$,\: $x_{0}$, \:$x_{1}$ et $x_{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B  Étude de coûts}

\medskip

Rappels : 

$\bullet~$ Le coût marginal d'une production $q$ assez grande est le coût de l'unité 
suivante, c'est à dire de la $(q+1)$\up{e} unité. La fonction \og coût marginal \fg{} $C_{m}$ est considérée comme la dérivée de la fonction \og coût total \fg{} $C_{T}$.

$\bullet~$ Le coût moyen unitaire d'une production $q$ est le quotient 
$\dfrac{C_{T}(q)}{q}$.

Une entreprise peut produire jusqu'à $900$ unités par jour.

Ses coûts fixes journaliers s'élèvent à \np{7500}~\euro{} ;

$\bullet~$ Toute sa production journalière est vendue au prix unitaire 
de 45~\euro{} ;

$\bullet~$ Pour tout $x$ de l'intervalle ]0~;~900], le coût marginal 
de $x$ unités est modélisé par :

$C_{m}(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la \textbf{partie 
A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le coût total journalier  de production est défini par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A}.
		\item En utilisant le résultat de la question \textbf{A.5.}, en déduire le domaine du plan dont l'aire représente les coûts fixes journaliers. (On hachurera le domaine sur le document réponse).
	\end{enumerate}
\item Que représente la valeur $h(x)$ ?
\item Justifier, à partir du graphique, que le bénéfice journalier de l'entreprise est positif lorsque la production est comprise entre $x_{1}$ et $x_{2}$.
 \item 
 	\begin{enumerate}
		\item Calculer, à $10^{-1}$ près, le bénéfice réalisé sur la fabrication de la $401$\up{e} unité. On fera apparaître ce bénéfice sur le graphique.

\item En déduire ce que représente l'aire du domaine, délimité par la droite d'équation $x = x_{1}$ la droite d'équation $x = x_{0}$ et les courbes (D) et 
$\mathcal{C}_{g}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
    
\textbf{Document-réponse \no 1, à rendre avec la copie (exercice 1)}
    
\vspace{1cm}    

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(6,8)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-4)(6,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-4)(6,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-1,1)(1,5)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1,0.5)(-0.5,1.85)(0,3)(1,4.5)(2,5)(3,4.5)(4,3)(5,0.5)(6,-3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[d](6,0){6} \uput[l](0,1){1} 
\uput[u](6,0){$x$}  \uput[l](0,8){$y$}
\uput[ul](0,3){A} \uput[ur](1,5){$\left(\text{T}_{\text{A}}\right)$}
\uput[ur](5.3,0){B}
\uput[d](5.5,-1.7){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture}    

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{A.1.} Lire graphiquement :

\[f(-1) = \qquad ;\quad  f(0) = \qquad ;\quad  f(2) = \qquad ; \quad f(5) = \qquad ;\quad  f(6) = \qquad \]

\vspace{0,5cm}

\textbf{A.2.} Résoudre graphiquement sur $[-1~;~6]$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $f(x) = 0 \qquad x = \cdots$& \textbf{b.~~} $f(x) \geqslant 
\dfrac{1}{2} \qquad x \in \cdots$
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{A.3.} Déterminer graphiquement :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $f'(0) = \qquad \qquad$  &\textbf{b.~~} $f'(2) =  \qquad 
\qquad$
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{A.4.} Résoudre graphiquement sur $[-1~;~6]$ :

\[ f'(x) > 0 \qquad x \in \qquad \]

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document-réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 3)}
    
\vspace{1cm}
    
\psset{xunit=0.013cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(0,15)(900,90.745)
\multido{\n=0+100}{10}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.pt](\n,0)(\n,90.745)}
\multido{\n=0+5}{19}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.pt](0,\n)(900,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1100,Dy=100]{->}(0,0)(900,90)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,90.745)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](900,0){$x$} \uput[l](0,90.745){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{900}{2.71828 0.002 x mul exp 15 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{102.6}{900}{2.71828 0.002 x mul exp 7500 mul x div}
\uput[u](850,84){\blue $\mathcal{C}_{g}$}
\uput[u](850,49){$\mathcal{C}_{h}$}
\uput[u](850,45){(D)}
\uput[d](850,45){$y=45$}
\psline[linewidth=1.5pt](0,45)(900,45)
\uput[d](100,0){100} \uput[d](900,0){900}
\uput[l](0,10){$10$}
\uput[l](0,15){L} \uput[l](0,45){B}
\uput[u](300,45){R} \uput[dr](500,40){I} 
\uput[dr](550,45){E} \uput[u](760,45){F}
\end{pspicture}    
\end{center}
\end{document}