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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Liban}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Liban mai 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats} 

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]-1~;~+ \infty[$. On sait que la fonction $f$ est croissante sur $]- 1~;~1]$ et sur $[3~;~+ \infty[$ et que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.

\begin{center}

\psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(5,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-2,-2)(5,3)%,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan
\psaxes[linewidth=1.pt](0,0)(-1.99,-1.99)(4.99,2.99)
\psaxes[linewidth=1.pt](0,0)(0,0)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline{<->}(-0.666,-1)(0.666,3)
\psline(3.2,-2)(5.2,3)
\psline{<->}(0.5,2)(1.5,2)
\psline{<->}(2.5,-1)(3.5,-1)
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=blue}
\psbezier(-.46,-2)(-.4,-1)(-.25,.25)(0,1)
\psbezier(0,1)(.2,1.6)(.6,2)(1,2)
\psbezier(1,2)(1.9,2)(2.2,-1)(3,-1)
\psbezier(3,-1)(3.4,-1)(3.6,-.5)(5.15,3)
\uput[l](-0.5,-1.75){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[r](3.4,-1.6){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture*}

\end{center} 

\textbf{I. Étude graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\emph{Chaque question comporte trois affirmations, une seule des trois est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier l'affirmation exacte sans justifier votre choix. Une bonne réponse rapporte} 0,5 \emph{point ; une mauvaise réponse retire} 0,25 \emph{point ; l'absence de réponse donne} 0 \emph{point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une asymptote à $\mathcal{C}$ est la droite d'équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
$\bullet \quad  y = - 1$& $\bullet \quad x = 1$& $\bullet \quad x = - 1$\\
\end{tabularx}
\item La droite $\mathcal{D}$ a pour équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
$\bullet \quad y = \dfrac{5}{2}x  - 10$ & $\bullet \quad y = \dfrac{5}{2}x - 9$  & $\bullet \quad y =3x -10$\\
\end{tabularx}

\item Le nombre dérivé de $f$ en $0$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
$\bullet \quad 1 $& $\bullet \quad 3$ & $\bullet \quad - 3$\\
\end{tabularx}

\item Le nombre de solutions de l'équation $f (x) =0$ sur $]-1~;~+ \infty[$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
$\bullet \quad 2$ & $\bullet \quad 1 $& $\bullet \quad 3$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{II. Étude d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

On note $g$ la fonction définie sur $]-1~ ;~+ \infty[$ par $g(x) = \text{exp}[f(x)]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to+ \infty} g(x)$, puis $\displaystyle\lim_{x \to - 1} g(x)$.
\item Étudier les variations de $g$ sur $]-1~;~+ \infty[$ et en dresser le tableau de variations.
\item Déterminer $g'(1)$ et $g'(0)$.
\item Déterminer, avec la précision permise par le graphique, l'ensemble des solutions
sur $]-1~;~+ \infty[$ de l'inéquation $g(x) \leqslant \text{e}^2$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité}

\textbf{La question 6 peut être traitée indépendamment des 5 autres.}

\emph{Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}

\medskip

Un pépiniériste conditionne un mélange de 400 bulbes de fleurs composé de trois variétés :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 100 bulbes d’anémones
\item[$\bullet~$] 180 bulbes de bégonias
\item[$\bullet~$] 120 bulbes de crocus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On conviendra qu'un bulbe germe s'il donne naissance à une plante qui fleurit.

Après avoir planté tous les bulbes et observé leur floraison, on constate que :

83\,\% des bulbes germent.

50\,\% des bulbes d’anémones germent.

90\,\% des bulbes de bégonias germent.

On note les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ : \og le bulbe planté est un bulbe d’anémone. \fg{}
\item $B$ : \og le bulbe planté est un bulbe de bégonias. \fg{}
\item $C$ : \og le bulbe planté est un bulbe de crocus. \fg{}
\item $G$ : \og le bulbe planté germe. \fg{}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner les probabilités conditionnelles  $P_{A}(G), \:P_{B}(G)$ et la probabilité $P(G)$.
\item Quelle est la probabilité qu'un bulbe planté soit un bulbe d’anémone qui germe ?
\item Quelle est la probabilité que le bulbe planté soit un bulbe qui germe ou soit un bulbe de bégonias ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité conditionnelle $P_{C}(G)$.
		\item  Que peut-on en déduire ?
	\end{enumerate}
\item On considère un bulbe ayant germé. Quelle est la probabilité que ce soit un bulbe de crocus ?
\item On considère à présent que le pépiniériste dispose d'un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu'un bulbe germe est de $0,83$. Il prélève au hasard successivement trois bulbes de ce stock. Quelle est la probabilité qu'au moins un des trois bulbes choisis germe ?
\end{enumerate}

\textbf{Remarques :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.
\item On rappelle la formule des probabilités totales :
si $A_{1}$, \:$A_{2}$,\: \ldots A$_{n}$, forment une partition de l'univers, alors la probabilité d'un évènement quelconque $E$ est donnée par :  $p(E) = p(A_{1} \cap  E) +  p(A_{2} \cap  E) + \ldots + p(A_{n} \cap  E)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi  l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un parc, il y a cinq bancs reliés entre eux par des allées.

On modélise les bancs par les sommets A, B, C, D, E et les allées par les arêtes du graphe G ci-dessous :

\begin{center} \begin{pspicture}(7,4)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20} \cnodeput(0.5,2.5){A}{A}
\cnodeput(3.5,3){B}{B} \cnodeput(5,1.5){C}{C} 
\cnodeput(3.5,0.4){D}{D} \cnodeput(2,0.6){E}{E} 
 \ncarc{B}{A}
 \ncarc{A}{E}
 \ncarc{B}{D} 
 \ncarc{C}{B} 
 \ncarc{D}{C}
 \ncarc{E}{D}
 \uput[u](3.5,3.75){Graphe G} 
 \end{pspicture} \end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On désire peindre les bancs de façon que deux bancs reliés par une allée soient toujours de couleurs différentes.

Donner un encadrement du nombre minimal de couleurs nécessaires et justifier.

Déterminer ce nombre.
		\item Est-il possible de parcourir toutes les allées de ce parc sans passer deux fois par la même allée ?
	\end{enumerate}
\item Une exposition est organisée dans le parc. La fréquentation devenant trop importante, on décide d'instaurer un plan de circulation : certaines allées deviennent à sens unique, d'autres restent à double sens. Par exemple la circulation dans l'allée située entre les bancs B et C pourra se faire de B vers C et de C vers B, alors que la circulation dans l'allée située entre les bancs A et B ne pourra se faire que de A vers B. Le graphe G$'$ ci-dessous modélise cette nouvelle situation :

\begin{center} \begin{pspicture}(7,4)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20} \cnodeput(0.5,2.5){A}{A}
\cnodeput(3.5,3){B}{B} \cnodeput(5,1.5){C}{C} 
\cnodeput(3.5,0.4){D}{D} \cnodeput(2,0.6){E}{E} 
\ncarc{->}{A}{B}
\ncarc{->}{A}{E} 
\ncarc{->}{E}{A} 
\ncarc{->}{C}{B} 
\ncarc{->}{B}{C} 
\ncarc{->}{B}{D} 
\ncarc{->}{D}{C}
\ncarc{->}{C}{D} 
\ncarc{->}{E}{D}
\ncarc{->}{D}{E}
\uput[u](3.5,3.5){Graphe G$'$} 
\end{pspicture} \end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice $M$ associée au graphe G$'$. (On ordonnera les sommets
par ordre alphabétique).
		\item On donne $M^5 = \begin{pmatrix}
1& 6& 9& 6& 10\\
4& 5& 7& 11& 5\\
4& 6& 6& 11& 5\\
1& 5& 10& 6& 10\\
6& 5& 5& 14& 2\\
\end{pmatrix}$

Combien y a-t-il de chemins de longueur 5 permettant de se rendre du
sommet D au sommet B ?

Les donner tous.
		\item Montrer qu'il existe un seul cycle de longueur 5 passant par le sommet A.

Quel est ce cycle ?

En est-il de même pour le sommet B ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Sauf indication contraire, on arrondira les résultats à} $10^{-2}$ \emph{près.}

Le taux de pénétration du téléphone mobile dans la population française indique le pourcentage de personnes équipées d'un téléphone mobile par rapport à la population totale.

Le tableau ci-dessous donne, entre 1998 et 2004, l'évolution de la population française et du taux de pénétration.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année											&1998	&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	&2004\\\hline
Rang  $x_{i}$ de l'année			&1		& 2		& 3		&4		& 5		& 6		& 7\\ \hline 
Population française en millions	&60,05	&60,32	&60,67	&61,04	&61,43	&61,80	&62,18\\ \hline
Taux de pénétration $y_{i}$			&18,7	&34,2	&48,9	&60,6	&62,8	& 67,5	& 71,6\\ \hline
\multicolumn{8}{l}{(\emph{Source : site de l'INSEE})}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre, en millions, de personnes équipées d'un téléphone mobile en 1999 et en 2004.
		\item Entre ces deux années quel est le pourcentage d'augmentation du taux de pénétration ?
	\end{enumerate}
\item Placer dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ : les unités graphiques sont de 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 10\,\% sur l'axe des ordonnées.
\item L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de $y$ en $x$ de la forme :
$y = a \ln(x) + b$ où $a$ et $b$ sont des réels. On pose pour cela $z = \ln (x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau :

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$						& 1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
$z_{i}$						& 0		&		&		&		&		&		&\\ \hline
Taux de pénétration $y_{i}$ &18,7	&34,2	&48,9	&60,6	&62,8	&67,5	&71,6\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}

		\item En déterminant avec la calculatrice une équation de la droite de régression de $y$ en
$z$, obtenue par la méthode des moindres carrés, donner la valeur approchée
décimale à $10^{-2}$ près par défaut des coefficients $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item En admettant que cet ajustement reste fiable à moyen terme :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le taux de pénétration en 2006 que l'on peut alors envisager.
		\item À partir de quelle année peut-on penser que le taux de pénétration dépassera 85\,\% ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [4~;~20] par 

\[f(x) = (x -4)\text{e}^{- 0,25x+5}.\]

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente cette fonction dans un repère orthogonal.


\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-5)(23,100)
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](0,\n)(23,\n)}
\multido{\n=0+1}{24}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,100)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(23,100)
\uput[u](13.4,52){\blue $(\mathcal{C})$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{20}{2.71828 5 0.25 x mul sub exp x 4 sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [4~;~20],~$ f'(x) = (-0,25x +2)\text{e}^{-0,25x+5}$.
\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur
l'intervalle [4~;~20].
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = - 4x \text{e}^{- 0,25x+5}$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [4~;~20].
		\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{4}^{20} f(x)\:\text{d}x$.
						\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Une entreprise commercialise des centrales d'aspiration.

Le prix de revient d'une centrale est de 400 \euro.

On suppose que le nombre d'acheteurs d'une centrale est donné par $N = \text{e}^{-0,25x+5}$ , où $x$ est le prix de vente d'une centrale exprimé en centaines d'euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $f$ de la partie A donne le bénéfice réalisé par l'entreprise, en
centaines d'euros.
\item À quel prix l'entreprise doit-elle vendre une centrale pour réaliser un bénéfice
maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ? Donner un interprétation
graphique de ces résultats.
\item Calculer le bénéfice moyen réalisé pour $x \in [4~;~20]$. On donnera le résultat à l'euro
près.
\end{enumerate}
\end{document}