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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{29 mai 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Liban 29  mai 2012~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer par \textbf{a.}, \textbf{b.}, \textbf{c.} l'unique bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.}

\medskip

On considère la représentation graphique ci-dessous d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$ telle que :
\begin{itemize}
	\item[$\bullet~~$] $f$ s'annule en $0,5$.
	\item[$\bullet~~$] La courbe représentative de $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-2$ et une tangente  horizontale au point d'abscisse $2$.
\end{itemize}
 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-11,-7)(11,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(-x^2+8*x-4)/(x^2+4)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-11,-7)(11,3)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-5.5,-3.5)(5.5,1.5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{<->}(1.1,1)(2.9,1) 
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{<->}(-2.9,-3)(-1.1,-3) 
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](-5,-2.379)(-2,-3)(2,1)(5,.379)
\end{pspicture}
\end{center}

On notera $f'$ la la fonction dérivée de  $f$.\index{Lectures graphiques}

\begin{enumerate}
\item Sur $[-5~;~5]$, l'équation $f'(x) = 0$ admet exactement :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a.~~}\quad  0 solution & \textbf{b.~~}\quad  1 solution & \textbf{c.~~}\quad  2 solutions \\
\end{tabularx}

\medskip

\item Sur $[-5~;~5]$, l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$ admet  pour ensemble de solutions :

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a.~~}\quad  $[-2~;~2]$ & \textbf{b.~~}\quad  $[0~;~5]$ & \textbf{c.~~}\quad  $[0,5~;~5]$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item La fonction $g$ telle que $g(x) = \ln\left(f(x)\right)$ est définie sur :

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a.~~}\quad  $[-2~;~2]$ & \textbf{b.~~}\quad  $]0~;~1]$ & \textbf{c.~~}\quad  $]0,5~;~5]$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item On note $S=\displaystyle\int_1^{3}{f(x) \: \mathrm {d} x}$ alors :

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a.~~}\quad  $0 < S < 1$ & \textbf{b.~~}\quad  $1 < S < 2$ & \textbf{c.~~}\quad  $2 < S < 3$ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{1\up{re} partie : Étude d'une fonction}  

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \mathrm {e}^x - \mathrm {e}^x -8$.\index{Fonction exponentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En écrivant que $f(x) = \mathrm {e}^x (x-1) -8$, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que $f'(x) = x \mathrm {e}^x $ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\index{Dérivée}
\item Dresser le tableau de variations complet de de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution $a$.
		\item Montrer que $2,040 < a < 2,041$.
		\item En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de $f(x)$ en fonction des valeurs de $x$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x)= x \mathrm {e}^x - 2\mathrm {e}^x -8x$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\index{Primitive}
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_3^{5}{f(x) \: \mathrm {d} x}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{2\up{e} partie : Application à une situation économique}  

\bigskip

Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets avec $x$ appartenant à $[0~;~5]$.

La fonction $f$ de la 1\up{re} partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaine d'euros.

Pour une quantité $x$ donnée, si $f(x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si $f(x)$ est négatif, l'entreprise subit une perte.

\medskip

En utilisant les résultats de la 1\up{re} partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :

\medskip

\begin{enumerate}
	\item À partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?
	\item L'entreprise pense produire régulièrement entre $3$ et $5$ milliers d'objets.
	
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur $[3~;~5]$ (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).\index{Valeur moyenne}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Dans un salon de coiffure pour femmes, le coloriste propose aux clientes qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires :

\begin{itemize}
	\item une coloration naturelle à base de plantes qu'il appelle \og couleur-soin \fg,
	\item des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, qu'il appelle \og effet coup de soleil \fg.
\end{itemize}

\medskip

Ce coloriste a fait le bilan suivant sur ces prestations :

\begin{itemize}
	\item 40\,\% des clientes demandent une \og couleur-soin \fg.
	\item parmi celles qui n'en veulent pas, 30\,\% des clientes demandent un \og effet coup de soleil \fg.
	\item de plus, 24\,\% des clientes demandent les deux à la fois.
\end{itemize}

\medskip

On considère une de ces clientes.

On notera $C$ l'évènement \og \emph{la  cliente souhaite une "couleur-soin"}\fg.

On notera $M$ l'évènement \og \emph{la  cliente souhaite un "effet coup de soleil"}\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de $M$ sachant $C$ notée $P_C\left(M\right)$.
\item Construire un arbre pondéré qui illustre la situation.\index{Arbre pondéré}
\item Calculer la probabilité que la cliente ne souhaite ni une \og couleur-soin \fg, ni un \og effet coup de soleil \fg.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $M$ est égale à 0,42.\index{Probabilités}
\item Les évènements $C$ et $M$ sont-ils indépendants ?
\item Une \og couleur-soin \fg{} coûte 35~euros et un \og effet coup de soleil \fg{} coûte 40~euros.	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier puis compléter sans justifier le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client :

\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$x_{i}$ &75 	&40 &35 &0 \\ \hline
$p_{i}$ &0,24 	& 	&  	&0,42\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip	
		\item Donner l'espérance E de cette loi.
		\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
	Combien le coloriste doit-il facturer la réalisation d'un \og effet coup de soleil \fg{} pour que l'espérance de gain par client augmente de 15\,\% ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip
 
En pédiatrie (médecine des enfants), des études statistiques sur des enfants de moins de 36 mois ont permis de tracer les deux courbes fournies en annexe. Pour un âge $x$ donné en mois, la courbe inférieure $C_1$ donne le périmètre crânien minimal en centimètres, et la courbe supérieure $C_2$ donne le périmètre crânien maximal en centimètres.

Ces deux courbes sont souvent utilisées pour observer le développement des enfants.

\bigskip

\textbf{A. Lectures graphiques}

\medskip

À l'aide du graphique fourni en annexe, répondre aux deux questions suivantes en laissant les traits de construction apparents :\index{Lectures graphiques}

\begin{enumerate}
\item Un enfant a un périmètre crânien égal à 41 cm.
	
Déterminer l'âge minimum et l'âge maximum que peut avoir cet enfant.
\item Un enfant a un âge compris entre 15 et 21 mois.
	
Déterminer le  périmètre crânien minimum et le  périmètre crânien maximum que peut avoir cet enfant.
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{B. Étude d'un modèle}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

Le pédiatre ne disposant pas de données d'individus de plus de 36 mois sur son lieu d'étude, il considère les valeurs moyennes des deux courbes précédentes.

Il obtient les mesures suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge $x$ (en mois) & 0 & 12 & 24 & 36 \\ \hline
Périmètre crânien $y$ (en cm) & 36 & 46 & 48 & 50 \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
\begin{enumerate}
\item On considère $z=\ln \left( 54 - y \right)$.
	
Recopier puis compléter le tableau suivant :
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âge $x$ en mois & 0 &12 &24 &36 \\ \hline
$z$ 			&  	&  	&  	&  \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en fonction de $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{Moindres carrés}
		\item En déduire que $y = 54 - \mathrm{e}^{ax+b}$ avec $a\approx -0,04$ et $b\approx 2,76$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{C. Utilisation du modèle précédent}

\medskip

Dans cette partie, on utilisera le modèle établi dans la question \textbf{2. b.} de la partie \textbf{B}.

\begin{enumerate}
\item Un enfant a un périmètre crânien de 53 cm.
	
Déterminer par le calcul une approximation de l'âge en mois de cet enfant.
\item Les scientifiques estiment que la structure osseuse crânienne se rigidifie dès l'âge de 15 ans, le périmètre crânien cesse alors de croître.
	
Déterminer par le calcul une approximation du périmètre crânien correspondant. Arrondir au centimètre près.
\end{enumerate}

\begin{center}
%\psset{unit=0.93cm}
\psset{xunit=.3cm,yunit=0.18cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(36,37)
\rput(18,35){\textbf{\emph{Annexe à remettre avec la copie}}}
\rput(18,-5){\footnotesize \emph{Courbes obtenues à partir de l'étude séquentielle française de la croissance CIE-INSERM (M. Sempé)}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\fa{4.77*ln(x+.5)+6.65}
\def\fb{3.08*ln(x)+11.45}
\def\g{3.8*ln(x+.5)+3.4}
%\psaxes [linewidth=.1pt, xticksize=0 30, yticksize=0 36, tickwidth=0.1pt, tickcolor=darkgray ,labels=none ](0,0)(36,30)
\psaxes [labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=0 30, yticksize=0 36,tickwidth=0.1pt,Dx=3,Oy=30,Dy=5]{->}(0,0)(36,30)
\uput[l](0.3,30){\footnotesize{60}}
\uput[ur](-2,31){\footnotesize{\emph{Périmètre crânien $y$ (en cm)}}} \uput[d](36,.5){\footnotesize{36}}
\uput[dl](36,-1){\footnotesize{\emph{âge $x$ (en mois)}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{16}{\fa}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{16}{36}{\fb}
\uput[r](36,22.5){\footnotesize{\bleu $C_2$}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{36}{\g}
\uput[r](36,17){\footnotesize{\prune $C_1$}} 
\uput[l](36,24.5){\footnotesize{\bleu\emph{Périmètre crânien maximum}}} 
\uput[l](36,14.5){\footnotesize{\prune\emph{Périmètre crânien minimum}}} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Dans cet exercice,  les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

\medskip

Cet exercice consiste à étudier la propagation d'une information d'une personne à l'autre, thème souvent abordé en sciences sociales. Cette information se transmet avec un risque d'erreur, c'est-à-dire avec une probabilité de propagation de l'information contraire.

\medskip

Dans cet exercice, on considère l'information suivante, notée E : \og Paul a réussi son examen \fg. 

\bigskip

\textbf{Partie A : Propagation symétrique (de type \og neutre \fg{})}  

\medskip

Dans cette partie, on suppose que, pour une information reçue $\left(\text{E ou}\: \overline{\text{E}}\right)$, la probabilité de communiquer cette information à l'identique vaut $0,9$ et la probabilité de relayer l'information contraire vaut $0,1$.

\medskip

On note $p_n$ la probabilité de recevoir l'information E au bout de $n$ étapes ($n$ étant le nombre de personnes ayant transmis l'information) et on note $q_n$ la probabilité de recevoir l'information $\overline{\mathrm{E}}$ au bout de $n$ étapes.

\medskip

On suppose que Paul a réussi son examen, on pose $p_0=1$ et $q_0=0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter le graphe probabiliste relatif à la propagation de l'information suivant :\index{Graphe probabiliste}	
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){E}{\small{\textsf{\bleu{E}}}}\cnodeput(4.5,1){F}{\small{\textsf{\bleu{$\overline{\mathrm{E}}$}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{E}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{F}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{E}{F} \ncarc[arcangle=40]{->}{F}{E}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Préciser la matrice de transition M telle que $ \begin{pmatrix} p_{n+1}  & q_{n+1}

\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix} \mathrm{M}$.\index{Matrices}
\item À l'aide de la calculatrice, trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,8$.
\item Déterminer par le calcul, l'état stable.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Propagation asymétrique (de type \og rumeur \fg)}  

\medskip

Dans cette partie, on suppose toujours que la probabilité de transmission correcte de l'information E est égale à 0,9. Toutefois, il circule la fausse rumeur  $\overline{\mathrm{E}}$. Dans ces conditions, on suppose que si l'information reçue est $\overline{\mathrm{E}}$, la probabilité de transmettre cette information $\overline{\mathrm{E}}$ est égale à 1.

\medskip

On suppose de nouveau que $p_0 = 1$ et $q_0 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.\index{Graphe probabiliste}
	\item Préciser la matrice de transition N telle que $ \begin{pmatrix} p_{n+1}  & q_{n+1}  \\ \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix} \mathrm{N}$.\index{Matrices}
	\item Montrer que $p_{n+1} = 0,9p_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(p_n\right)$ ?
	\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
	\item Trouver par le calcul, le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,5$.
	\item Déterminer la limite de $\left(p_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ puis interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\end{document}