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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{28 mai 2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 28 mai 2013 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.\\ 
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.}

\medskip
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. 

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A$(1~;~-1~;~2)$, B$(3~;~3~;~8)$, C$(-3~;~5~;~4)$ et D(1~;~2~;~3). 
 
On note $\mathcal{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{2}t + 1\\
y &=& 2t - 1\\   
z &=& 3t+2
\end{array}\right., t \in \R$ 
 
et $\mathcal{D}'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{-} k + 1\\
y &=&\phantom{-} k + 3\\
z &=&- k + 4
\end{array}\right.,  k \in \R$.\index{equation paramétrique@équation paramétrique}
  
On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + y - z + 2 = 0$. 

\medskip

\textbf{Question 1 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles. 

Proposition \textbf{b.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires.
 
Proposition \textbf{c.~} Le point C appartient à la droite $\mathcal{D}$.

Proposition \textbf{d.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales. 

\medskip

\textbf{Question 2 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est parallèle à la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition \textbf{b.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}'$ et est parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
 
Proposition \textbf{c.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est orthogonal à la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition \textbf{d.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.

\medskip

\textbf{Question 3 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Les points A, D et C sont alignés.
 
Proposition \textbf{b.~} Le triangle ABC est rectangle en A.
 
Proposition \textbf{c.~} Le triangle ABC est équilatéral.
 
Proposition \textbf{d.~} Le point D est le milieu du segment [AB]. 
 

\medskip

\textbf{Question 4 :}
 
On note $\mathcal{P}'$ le plan contenant la droite $\mathcal{D}'$ et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :
 
Proposition \textbf{a.~} $\vect{n}(-1~;~5~;~4)$
 
Proposition \textbf{b.~} $\vect{n}(3~;~-1~;~2)$
 
Proposition \textbf{c.~} $\vect{n}(1~;~2~;~3)$
 
Proposition \textbf{d.~} $\vect{n}(1~;~1~;~-1)$


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip

L'entreprise \emph{Fructidoux} fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50~grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination \og compote allégée \fg. 

La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
 
L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F$_{1}$ et F$_{2}$.

\medskip
 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La chaîne de production F$_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production F$_{1}$. Elle est cependant moins rapide.
 
Ainsi, dans la production totale, 70\,\% des petits pots proviennent de la chaîne F$_{1}$ et 30\,\% de la chaîne F$_{2}$.
 
La chaîne F$_{1}$ produit 5\,\% de compotes non conformes et la chaîne F$_{2}$ en produit 1\,\%.
 
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
 
$E$ : \og Le petit pot provient de la chaîne F$_{2}$ \fg 

$C$ : \og Le petit pot est conforme. \fg

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre\index{arbre de probabilités} pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F$_{1}$. \fg 
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $C$. 
\item Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $C$ est réalisé.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$, associe sa teneur en sucre.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $m_{1} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,006$. 

Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$\alpha$& $\beta$&$P(\alpha \leqslant X \leqslant \beta)$\\ \hline  
0,13 &0,15 &\np{0,0004}\\ \hline 
0,14 &0,16 &\np{0,0478}\\ \hline 
0,15 &0,17 &\np{0,4996} \\ \hline
0,16 &0,18 &\np{0,9044}\\ \hline 
0,17 &0,19 &\np{0,4996}\\ \hline 
0,18 &0,20 &\np{0,0478}\\ \hline 
0,19 &0,21 &\np{0,0004} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$ soit conforme. 
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$, associe sa teneur en sucre.
 
On suppose que $Y$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $m_{2} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{2}$.
 
On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$ soit conforme est égale à $0,99$.
 
Soit Z la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y - m_{2}}{\sigma_{2}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ? 
		\item Déterminer, en fonction de $\sigma_{2}$ l'intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à l'intervalle [0,16~;~0,18]. 
		\item En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_{2}$.
		 
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $0$ et d'écart-type $1$.
	\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$\beta$&$P(- \beta  \leqslant Z \leqslant \beta)$\\ \hline 
\np{2,4324} &0,985\\ \hline 
\np{2,4573} &0,986\\ \hline 
\np{2,4838} &0,987\\ \hline 
\np{2,5121} &0,988\\ \hline 
\np{2,5427} &0,989\\ \hline 
\np{2,5758} &0,990\\ \hline 
\np{2,6121} &0,991\\ \hline 
\np{2,6521} &0,992\\ \hline
\np{2,6968} &0,993\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip
 
Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\R$ par 

\[f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}.\]\index{fonction exponentielle} 
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie on choisit $k = 1$. On a donc, pour tout réel $x$,\: $f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$.
 
La représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère \Oij{} est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f_{1}(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus. 
\item Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 +  \text{e}^{x}}$. 
\item On appelle $f'_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\R$. Calculer, pour tout réel $x$,\: $f'_{1}(x)$. 

En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. 
\item On définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^1  f_{1}(x)\:\text{d}x$. 

Montrer que $I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. Donner une interprétation graphique de $I$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Dans cette partie, on choisit $k = - 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ représentant la fonction $f_{- 1}$. 

Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathcal{C}_{1}$ d'abscisse $x$ et $M $ le point de $\mathcal{C}_{- 1}$ d'abscisse $x$.
 
On note $K$ le milieu du segment $[MP]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1$. 
\item En déduire que le point $K$ appartient à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie. 
\item En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{- 1}$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre $k$.
 
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement comprise entre les droites d'équations $y = 0$ et $y = 1$. 
\item Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante. 
\item Pour tout réel $k \geqslant 10$,\: $f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant  0,99$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité}
 
\medskip


On considère la suite\index{suite} numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0} &=& 1\\ 	 
v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}}
\end{array}\right.$ 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme \index{algorithme} affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

\medskip

\hspace{-1cm} 
\begin{small}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$v$ est un réel&&$v$ est un réel&&$v$ est un réel\\ 
$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
~&&&&\\ 
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&& \textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
Lire $n$&&Lire $n$&&Lire $n$\\ 
$v$ prend la valeur $1$&&Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$\\ 
Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$&& Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire\\ 
\hspace{0.2cm}$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&\hspace{0.2cm}Afficher $v$&& \hspace{0.2cm}Afficher $v$\\  
Fin pour&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$\\
Afficher $v$&&Fin pour&&Fin pour\\
&&&&Afficher $v$\\
\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\  \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{small}

\item Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.  
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. 
 
La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ? 
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B Recherche de la limite de la suite } \boldmath $\left(v_{n}\right)$ \unboldmath

\medskip

On considère la suite\index{suite} $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par 

\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ 
\item En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité}
 
\medskip

On considère la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 3,\: u_{1} = 8$ et, pour tout $n$ supérieur ou égal à 0 :

\[ u_{n + 2} = 5u_{n+1} - 6u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$. 
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant  2$, on souhaite calculer $u_{n}$ à l'aide de l'algorithme\index{algorithme} suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{p{2cm} p{10cm}}
\textbf{Variables :}		&$a, b$ et $c$ sont des nombres réels\\ 
							&$i$ et $n$ sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2\\ 
\textbf{Initialisation :}	&$a$ prend la valeur 3\\
							&$b$ prend la valeur 8\\ 
\textbf{Traitement :}		&Saisir $n$\\ 
&Pour $i$ variant de $2$ à $n$ faire\\
&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
$c$ prend la valeur $a$\\
$a$ prend la valeur $b$\\
$b$ prend la valeur \ldots\\
\end{tabular}\\ 
							&Fin Pour\\ 
 \textbf{Sortie :}			&Afficher b\\
\end{tabular}

\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter. 
		
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:

\medskip

\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|c|c|c|*{5}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
$n$& 7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline 
$u_{n}$&\scriptsize\np{4502} &\scriptsize\np{13378} &\scriptsize\np{39878} &\np{119122} &\np{356342} &\np{1066978} &\np{3196838} &\np{9582322} &\scriptsize\np{28730582}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite 
$\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$.
 
On note $A$ la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$,

$C_{n+1} = AC_{n}$. 

Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n,\: C_{n} = A^nC_{0}$.
\item Soient $P = \begin{pmatrix}2&3\\1&1 		\end{pmatrix},\: D = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}- 1&3\\1&- 2		\end{pmatrix}$. 

Calculer $QP$.
 
On admet que $A = PDQ$.
 
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n,\: A^n = PD^nQ$.
\item À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet.
 
Pour tout entier naturel non nul $n$, 

\[A^n = \begin{pmatrix}- 2^{n+1} +3^{n+1}& 3\times 2^{n+1} - 2\times 3^{n+1}\\ 
- 2^n +3^n& 	3 \times 2^n - 2 \times  3^n \end{pmatrix}.\]
	 
En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ a-t-elle une limite ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE de l'EXERCICE 3, à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
 
Représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2)(3.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.5,-1.98)(3.5,1.98)
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\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\rput(-1.5,0.35){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{document}