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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
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\thispagestyle{empty}\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 3 juin 2010 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\text{e}^0 = 1$. 
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $x$ et $y$, $\text{e}^{x} \times  \text{e}^{y} =  \text{e}^{x + y}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout réel $x,~\text{e}^{-x} = \dfrac{1}{\text{e}^{x}}$. 
\item  Démontrer que pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n,~ \left(\text{e}^{x}\right)^n = \text{e}^{nx}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[u_{n} = \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x.\] 

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$.
		\item  Calculer $u_{1}$. En déduire $u_{0}$.
	\end{enumerate}

\item Montrer que pour tout entier naturel $n, u_{n} \geqslant  0$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} + u_{n} = \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \leqslant  \dfrac{1 - \text{e}^{-n}}{n}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

On note (D) la droite passant par les points A$(1~;~- 2~;~-1)$ et B$(3~;~- 5~;~- 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : 

\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& \phantom{-}1 + 2t\\ 
y& - 2 - 3t\\
z&- 1 - \phantom{2}t
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~ t \in \R.\]  
\item  On note (D$'$) la droite ayant pour représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x& 2 - k\\
y& 1 + 2k\\
z& k
\end{array}\right. \quad \text{avec}~ k \in \R.\] 

Montrer que les droites (D) et (D$'$) ne sont pas coplanaires.
\item On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le plan (P) contient la droite (D).
		\item Montrer que le plan (P) et la droite (D$'$) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate}
\item On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point C et de vecteur directeur 

$\vect{w}(1~;~1~;~- 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites $(\Delta)$ et (D$'$) sont perpendiculaires.
		\item Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.}

\medskip

\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue $10$~tirages successifs d'une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l'urne 
et on recommence).

\medskip

\textbf{Proposition 1 :} \og La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est

$3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$. \fg
 
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ $(\lambda > 0)$.

On rappelle que pour tout réel $a > 0 : p(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^a \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$.
 
\textbf{Proposition 2 :} \og Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est égal à $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$. \fg

\item  Soit le nombre complexe $z = 1- \text{i}\sqrt{3}$.

\textbf{Proposition 3 :} \og Si l'entier naturel $n$ est un multiple de 3 alors $z^n$ est un réel. \fg

\item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, le point A d'affixe $a = 2 - \text{i}$ et le point B d'affixe $b = \dfrac{1 + \text{i}}{2}a$. 

\textbf{Proposition 4 :} \og Le triangle OAB est rectangle isocèle. \fg

\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \dfrac{- 10}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le  nombre conjugué de $z$.

\textbf{Proposition 5 :} \og Il existe un point $M$ tel que O, $M$ et $M'$ ne sont pas alignés. \fg

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.}

\medskip

\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, le point A d'affixe $2 - \text{i}$ et B l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. 

On note I le milieu du segment [AB].
 
\textbf{Proposition 1 :} \og La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe $z'= (1 + \text{i})z -1 - 2\text{i}$.\fg
\item  On appelle S l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $3x - 5y = 2$.

\textbf{Proposition 2 :} \og L'ensemble S est l'ensemble des couples $(5k - 1~;~3k -1)$ où $k$ est un entier relatif. \fg 
\item On considère l'équation (E) : $x^2 + y^2 = 0$\quad  modulo 3, où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.

\textbf{Proposition 3 :} \og Il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de $3$. \fg 
\item  Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3.

\textbf{Proposition 4 :} \og Pour tout entier naturel $k~ (2 \leqslant  k \leqslant n)$, le nombre $n! + k$ n'est pas un nombre 
premier. \fg
\item  On considère l'équation (E$'$) : $x^2 -52x + 480 = 0$, où $x$ est un entier naturel.

\textbf{Proposition 5 :} \og Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l'équation (E$'$). \fg
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[u(x) = x^2 - 2 + \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $u$ sur $]0~;~+\infty[$ et préciser ses limites en $0$ et en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur $]0~;~+\infty[$.
		
On note $\alpha$ cette solution.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\item Montrer l'égalité : $\ln \alpha = 2 - \alpha^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) =  x^2 + (2 - \ln x)^2.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$,\:$f'(x)$ en fonction de $u(x)$. 
\item En déduire les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ (logarithme népérien) ;
\item[$\bullet~$] A le point de coordonnées $(0~;~2)$ ;
\item[$\bullet~$] $M$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la distance A$M$ est donnée par A$M = \displaystyle\sqrt{f(x)}$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \displaystyle\sqrt{f(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $]0~;~+\infty[$. 
		\item Montrer que la distance A$M$ est minimale en un point de $\Gamma$, noté P, dont on précisera les coordonnées.
		\item Montrer que AP $= \alpha \sqrt{1 + \alpha^2}$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en P ?
\end{enumerate}
\end{document}