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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small Liban}
\rfoot{\small{juin 1999}}

\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 1999~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, l'unité de longueur étant le centimètre, les points A, B, C, D ont pour affixe $3 + \text{i}$,\: $7 - \text{i}$,\:$- 1 - 7\text{i}$,\: $8 - 4\text{i}$ respectivement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C, D.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\item Démontrer que A, B, C, D sont sur un même cercle.

On précisera le rayon de ce cercle et l'affixe de son centre I.
\item À tout point $M$ d'affixe $z$, avec $z$ non nul, on associe le 
point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = \dfrac{10}{z}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire, sous forme algébrique les affixes 
$a',\: b',\: c'$ des points A$'$, B$'$, C$'$ (respectivement associés à A, B, C).
Placer les points A$'$, B$'$, C$'$.
		\item Vérifier que : $\dfrac{c' - a'}{b' - a'} = 2$.
		\item En déduire une mesure de l'angle 
$\left(\vect{\text{A}'\text{B}'},~\vect{\text{A}'\text{C}'}\right)$.
		\item Que peut-on en déduire pour les points A$'$, B$'$, C$'$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 5 points}

\medskip

Sur une droite (D) muni d'un repère \Oij, A$_{0}$ et B$_{0}$ sont les points d'abscisses 
respectives $- 4$ et $3$. Pour tout entier naturel $n$, on note

\[A_{n+1}\quad \text{le barycentre de}\quad \{(A_{n}~;~ 1),~(B_{n}~;~4)\}\]

\[B_{n+1}\quad \text{le barycentre de}\quad \{(A_{n}~ ;~ 3),~ (B_{n}~;~ 2)\}\]

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$_{0}$, B$_{0}$, A$_{1}$, B$_{1}$.
\item Les points $A_{n}$ et $B_{n}$ ont pour abscisses $a_{n}$ et $b_{n}$ 
respectivement.

Ainsi, $a_{0} = - 4$ et $b_{0} = 3$.

Démontrer que, pour tout $n$ de $\N,~ a_{n+1} = \dfrac{1}{5}\left(a_{n} + 
4b_{n}\right)$ et $b_{n+1} = \dfrac{1}{5}\left(3a_{n} + 2b_{n}\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel 
$n :$

\[3a_{n} + 4b_{n} = 0.\]
		\item En déduire que : $a_{n+1} = - \dfrac{2}{5}a_{n}$ et 
$b_{n+1} = - \dfrac{2}{5} b_{n}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ à l'aide de $n$.
		\item Déterminer les limites de $a_{n}$ et $b_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
		\item Interpréter ce résultat à l'aide des points $A_{n}$ et $B_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 5 points }

\medskip

Le nombre $n$ est un entier naturel non nul. On pose : $a = 4n + 3,~ 
b = 5n + 2$ et on note $d$ le PGCD de $a$ et $b$.
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $d$ dans les trois cas 
suivants : $n = 1, \:n = 11 ,\: n = 15$.
\item Calculer $5a - 4b$ et en déduire les valeurs possibles de $d$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les entiers naturels $n$ et $k$ tels 
que $4n + 3 = 7k$.
		\item Déterminer les entiers naturels $n$ et $k$ tels que $5n + 2 = 7k$	 
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par 7.

Déduire des questions précédentes la valeur de $r$ pour laquelle $d$ vaut 7.

Pour quelles valeurs de $r,~ d$ est-il égal à 1 ?
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie I}
\end{center}

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. La fonction $\varphi$ est définie sur 
$\R$ par :

\[\varphi(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\varphi'(x)$ 
et $\varphi''(x)$.
		\item Vérifier que, pour tout réel $x~:~\varphi(x) = - \varphi''(x) - 2\varphi'(x)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que $\varphi$ admet une primitive $\Phi$, définie 
sur $\R$ par : $\Phi(x) = \left(Ax + B\right)\text{e}^{-x}$ où $A$ et $B$ sont des nombres réels que l'on exprimera à l'aide de $a$ et $b$.
\item Déterminer $a$ et $b$ pour que : $\varphi(0) = 5$ et 
$\varphi'(0) = - 3$.

Donner alors $\varphi'(x),~\varphi''(x)$ et $\Phi(x)$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie II}
\end{center}

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. L'unité graphique est de $2$~cm  sur l'axe des abscisses et de $1$~cm sur l'axe des ordonnées.
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[\varphi(x) = (2x + 5)\text{e}^{-x}.\]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et 
en $+ \infty$.

Donner une interprétation graphique de cette deuxième limite.
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection 
de la courbe $(\mathcal{C})$ avec les axes du repère.
\item Calculer $f'(x)$, déterminer le signe de $f'(x)$ et donner 
le tableau des variations de la fonction $f$.
\item Soit I le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $- 
\dfrac{1}{2}$.

Une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point I 
est $y = g(x)$.

Déterminer $g(x)$.
\item On pose $d(x) = f(x) - g(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $d'$, calculer 
$d'\left(- \dfrac{1}{2} \right)$ et donner le signe de~$d'$.
		\item Étudier le sens de variations de $d$, calculer $d\left(- \dfrac{1}{2}\right)$ et donner le signe de $d$.
		\item Donner la position de la tangente (T) par rapport à la courbe $(\mathcal{C})$. 
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ et la tangente (T).
\item Soit $\alpha$ un réel strictement positif. On note 
$\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire en cm$^2$ de la région du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $x = - \dfrac{5}{2}$ et $x = \alpha$.

Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$. (On peut éventuellement utiliser le résultat de la \textbf{partie I.})

Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}
\end{document}