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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2001~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq 
circuits balisés de promenades $c_{1} ,~ c_{1} ,~c_{2} ,~c_{3} ,~c_{4},~ c_{5}.$

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Chaque matin, chacune des familles tire au hasard, indépendamment 
l'une de l'autre, un des cinq circuits.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien y-a-t-il de tirages possibles pour l'ensemble des deux 
familles ?
\item Quelle est la probabilité pour qu'elles fassent le même jour, le 
même circuit ?
\item Quelle est la probabilité pour que pendant $n$ jours consécutifs, 
elles ne se trouvent jamais sur le même circuit ?
\item Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la probabilité 
de se trouver au moins une fois sur le même circuit est supérieure ou 
égale à 0,9.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième 
jour chaque famille élimine de son tirage le circuit qu'elle a fait la veille. Il reste donc quatre circuits pour chacune des deux familles.

On note :

$E$ l'évènement \og les deux familles font le même circuit le 
premier jour \fg.

$F$ l'évènement \og les deux familles font le même circuit le deuxième jour \fg.

Calculer les probabilités suivantes :

\centerline{$P(E),\: P(F/E),\: P\left(F/\overline{\text{E}}\right)\: \text{puis }\: P(F \cap E) \:\text{et}\:\: P\left(F \cap \overline{\text{E}}\right).$}

En déduire $P(F)$.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct 
\Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3$ + i et $z_{\text{B}} = 1 + 2$i.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer le complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.
\item En déduire une mesure en radians de l'angle 
$\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right).$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Désormais on considère l'espace muni du repère orthonormal direct 
(O,~$\vect{u},~\vect{v},~\vect{w}$) où

$\vect{w} = \vect{u} \wedge \vect{v}$.

On considère les points A(3~;~1~;~0), B(1~;~2~;~0), C(3~;~2~;~1) et $D$(0~;~0~;~$d$) où $d$ désigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre  ABC$D$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $\vect{\text{N}} = 
\vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{N}}$.
		\item En déduire l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
\item On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan 
(ABC).
	\begin{enumerate}
		\item On pose $\vect{DH} = \lambda \vect{\text{N}}$.

Calculer $\lambda$ en fonction de $d$.
		\item En déduire l'expression de la distance $DH$.

Montrer que le volume du tétraèdre ABC$D$ est V$_{d} = \dfrac{2d+5}{ 6}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer pour quelle valeur de $d$ la droite ($D$B) est 
perpendiculaire au plan (ABC).
\item On suppose que $d = 0$ . Calculer la distance de A au plan (OBC). 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct $\left(\Omega~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$, unité graphique 3~cm.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit trois droites D$_{1}$,~ D$_{2}$ et D$_{3}$, sécantes en $\Omega$ et de 
vecteurs directeurs respectifs $\vect{d_{1}} = \vect{u}$, 
et $\vect{d_{2}}$ et $\vect{d_{3}}$ supposés unitaires et 
tels que $\left(\vect{d_{1}},~ \vect{d_{2}} \right) = 
\dfrac{\pi}{4}$ et $\left(\vect{d_{1}},~\vect{d_{3}} \right) 
= - \dfrac{2\pi}{3}$.

On note S$_{1}$, S$_{2}$ et S$_{3}$ les réflexions d'axes respectifs 
D$_{1}$, D$_{2}$ et D$_{3}$, 
et $f$ la composée S$_{3} \circ$ S$_{2} \circ S_{1}$, de ces trois 
réflexions.

\begin{enumerate}
\item Tracer ces trois droites.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r = \text{S}_{2} \circ \text{S}_{1}$.
		\item Caractériser la réflexion S telle que $r = \text{S}_{3}\: \circ$ S . On notera D l'axe de S et on en déterminera un point et un vecteur directeur $\vect{d}$. Tracer la droite D.
		\item En déduire la nature de $f$ et ses éléments 
caractéristiques.
	\end{enumerate}
\item Justifier que le point E d'affixe $z_{\text{E}} = 
\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{12}}$ est un point de la 
droite D.

Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que la forme complexe de $f$ soit l'application $f_{1}$ définie sur $\C$ par $f_{1}(z) = a\overline{z} + b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Choisir un point A sur D. On note B l'image de A par 
S$_{1}$ et C l'image de B par S$_{2}$ . Placer les points B et C.
\item Démontrer que A est l'image de C par S$_{3}$.
\item Que peut-on dire du point $\Omega$ pour le triangle ABC ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Lectures graphiques}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.75,-6)(5.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-5.9)(5.5,2)
\psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1.75}{5}{ x 1 add dup mul 2.71828 0 x sub exp mul}
\psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.75}{5}{1 x dup mul sub 2.71828 0 x sub exp mul}
\rput(1.5,-0.7){\blue $F$} \rput(3,1.1){\cyan $C$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On donne dans un repère orthogonal les courbes $C$ et $F$ représentatives 
de deux fonctions définies et dérivables sur $\R$. On sait que l'une de 
ces fonctions est la fonction dérivée de l'autre, on peut donc les 
noter $g$ et $g'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation 
graphique. On justifiera le résultat en donnant un tableau où figurera sur 
l'intervalle $\left[-~\dfrac{3}{2}~ ;~ 5\right]$ le signe de $g'(x)$ et les variations de $g$. 
\item Quel est le coefficient directeur de la tangente à C au point 
d'abscisse 0 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit l'équation différentielle $(E)$ : $y' + y = 2(x + 1 )\text{e}^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f_{0}$ définie sur $\R$ par 
$f_{0}(x) = (x^2 + 2 x)\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation $(E)$.
\item Résoudre l'équation différentielle $(E')$ : $y'+ y = 0$.
\item Soit $u$ une solution de $(E')$ . Montrer que la fonction $f_{0} + u$ est une solution de (E).

On admettra que, réciproquement, toute solution $f$ de $(E)$ est de la 
forme

$f = f_{0} + u$ où $u$ est une solution de (E').

En déduire, pour $x \in \R$ , l'expression de $f(x)$ lorsque $f$ est solution de $(E)$.
\item Sachant que la fonction $g$ de la partie A est solution de $(E)$, 
déterminer $g(x)$ pour $x \in \R$.
\item Déterminer la solution $h$ de l'équation $(E)$ dont la représentation 
graphique admet au point d'abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 0.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par : $f(x) = (x^2 + 2x + 2)\text{e}^{-x}$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item On sait que $f$ est dérivable sur $\R$ : déterminer sa fonction 
dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation de $f$.
\item Dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique 2~cm, 
on note $C'$ la représentation graphique de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne de la tangente $T$ à $C'$ au point $\Omega$ d'abscisse $- 1$.
		\item Tracer avec soin la courbe $C'$ et la tangente $T$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer trois réels $a,~ b$ et $c$ tels que la fonction $F$ définie par 

$F(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $f$.
		\item Soit $\alpha$ un réel positif. Calculer en cm$^2$ l'aire notée $\mathcal{A}(\alpha)$ de la zone du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe C$'$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}