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% Merci à François Couloigner pour l'annexe
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2007 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \ln x~ \text{et}~ g(x) = (\ln x)^2.\]

On note $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ les courbes représentatives respectives de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal. Les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ sont données en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $(\ln x)(1 - \ln x)$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item  Pour $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, $M$ est le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ est le point de $\mathcal{C}'$ de même abscisse.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = f(x) - g(x)$.
		
Étudier les variations de la fonction $h$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item  En déduire que sur l'intervalle [1~;~e], la valeur maximale de la distance $MN$ est obtenue pour $x = \sqrt{\text{e}}$.
		\item  Résoudre dans $]0~;~+\infty[$ l'équation $(\ln x)^2 - \ln x = 1$.
		\item  En déduire que, sur ]0~;~1[\: $\cup~ ]\text{e}~;~+ \infty[$, il existe deux réels $a$ et $b$ ($a < b$) pour lesquels la distance $MN$ est égale à $1$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln x\: \text{d}x$.
		\item  Vérifier que la fonction $G$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = x \left[(\ln x)^2 - 2 \ln x +2\right]$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item  On considère la partie du plan délimitée par les courbes $\mathcal{C},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x =  1$ et $x = \text{e}$.
		
Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ en unités d'aire de cette partie du plan.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ne faisant pas l'option mathématiques}

\medskip

\emph{Pour chacune des $5$ propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.\\ 
Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

On considère la droite ($d$) dont un système d'équations paramétriques est :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2 - \dfrac{t}{2}\\
y &=& 1\\	
z &=&5 - \dfrac{3t}{2}\\
\end{array}\right. ~~(t \in \R)$

On note A le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$, B le point de coordonnées $(4~;~-2~;~2)$ et C le point de ($d$)
d'abscisse $1$.
\begin{enumerate}
\item Proposition 1

\og La droite ($d$) est parallèle à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ \fg.
\item  Proposition 2

\og  Le plan $P$ d'équation $x+ 3z - 5=0$ est le plan passant par A et orthogonal à ($d$)  \fg.
\item Proposition 3

\og  La mesure de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAC}}$ est $\dfrac{\pi}{3}$ radians  \fg.
\item  Soit G le barycentre des points pondérés (A ; $-1$), (B ; 1) et (C ; 1).

Proposition 4

\og Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu  \fg.
\item Proposition 5

\og La sphère de centre C et passant par B coupe le plan $P$ d'équation 

$x + 3z - 5 = 0$  \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'option mathématiques}

\medskip

\emph{Pour chacune des $5$ propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ définie par : $z'= 2\text{i}z+1$.

\textbf{Proposition 1 :} \og  Cette transformation est la similitude directe de centre A d'affixe $\dfrac{1}{5}+ \dfrac{2}{5}\text{i}$,  d'angle $\dfrac{\pi}{2}$	et de rapport 2  \fg.
\item 	Dans l'espace muni du repère orthonormal \Oijk, on note $S$ la surface d'équation $z = x^2+2x +y^2 + 1$.

\textbf{Proposition 2 :} \og La section de $S$ avec le plan d'équation $z = 5$ est un cercle de centre A de coordonnées $(-1~;~0~;~5)$ et de rayon $5$  \fg.
\item 	\textbf{Proposition 3 :} \og  $5^{750} - 1$ est un multiple de 7  \fg.
\item 	\textbf{Proposition 4 :} \og  Si un entier naturel $n$ est congru à $1$ modulo $7$ alors le PGCD de $3n + 4$ et de $4n + 3$ est égal à 7  \fg.
\item 	Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.

\textbf{Proposition 5 :} \og  S'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv  = 2$ alors le PGCD de $a$ et $b$ est égal à 2 \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On considère deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$.

L'urne $U_{1}$ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
 
L'urne $U_{2}$ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.

On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :

\medskip

Étape 1 : On tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$.

\medskip

Étape $n~ (n \geqslant  2$) :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si la boule tirée à l'étape $(n -1)$ est blanche, on tire au hasard une boule dans $U_{1}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{1}$.
\item[$\bullet~$]	Si la boule tirée à l'étape $(n - 1)$ est noire, on tire au hasard une boule dans $U_{2}$, on note sa couleur et on la remet dans $U_{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $A$ l'évènement \og le tirage a lieu dans l'urne $U_{1}$ à l'étape $n$ \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité. On a donc $p_{1} = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{2}$.
\item Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = 0,8 p_{n} + 0,05$.

On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
\item  Calculer $p_{3}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ entier naturel non nul, $p_{n} > 0,25$.
		\item  Démontrer que la suite $\left(p_{n}\right)$ est décroissante.
		\item  En déduire que la suite $\left(p_{n}\right)$ est convergente vers un réel noté $\ell$.
		\item  Justifier que $\ell$ vérifie l'équation : $\ell = 0,8\ell + 0,05$. En déduire la valeur de~$\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle associe le point $M'=f(M)$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' = \dfrac{z}{|z|}\left(2 - |z|\right).\]

Le cercle $\mathcal{C}_{1}$, de centre O et de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée en annexe, que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

Pour $z$ complexe non nul, on note $z = r \text{e}^{\text{i}\alpha},~ r$ étant le module de $z$ et $\alpha$ un argument de $z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $z'= (2 - r) \text{e}^{\text{i}\alpha}$.
\item Déterminer l'affixe $a'$ du point A$'$, image par $f$ du point A d'affixe $a = 3$.
\item Soit B le point d'affixe $b = -\sqrt{3}+ \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire $b$ sous forme exponentielle.
		\item  Déterminer l'affixe $b'$ du point B$'$, image du point B par $f$.
	\end{enumerate}
\item  Placer A, B, A$'$ et B$'$ sur la figure..
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'ensemble $E$ des points $M$ du plan privé du point O dont l'image par $f$ est O.
		\item  Représenter $E$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que le cercle $\mathcal{C}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ du plan distincts de O tels que
$f(M)=M$.
\item Pour cette question, $M$ est un point du plan, distinct de O, n' appartenant pas au cercle $\mathcal{C}_{1}$.

On appelle I le milieu du segment $[MM']$ où $M'$ est l'image de $M$ par $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que I appartient à $\mathcal{C}_{1}$.
		\item  Montrer que I appartient à la demi-droite [O$M$).
		\item  Sur la figure donnée en annexe est placé un point nommé $M_{1}$.
		
Construire le point $M_{1}'$, image par $f$ du point $M_{1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe}

\begin{center}
\textbf{ Annexe à rendre avec la copie}
\vspace {0,5cm}
\end{center}
\begin{large}\textbf{\textsc{Exercice 1}}\end{large}
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.1)(5.1,3.1)%généré par pstplus
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\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\vspace {0,5cm}
\begin{large}\textbf{\textsc{Exercice 4}}\end{large}
\bigskip

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.3,-2.3)(2.3,2.3)
\SpecialCoor
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vect{u}$}
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\dotnode (0.6,1.5) {M1} \uput[60](M1){$M_1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}