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% Merci à Frédéric Laroche pour la frappe
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip
 
Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires.

Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires.

Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip
  
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois :

s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A,
 
sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $R$ l'évènement \og le joueur obtient une boule rouge \fg. 

Montrer que $p(R) = 0,15$.
\item  Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).

Soit $x$ un entier naturel non nul.

Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $x$ euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.

On désigne par $G$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs $2x$,\: $x - 2$ et $- 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
\item Exprimer l'espérance E($G$) de la variable aléatoire $G$ en fonction de $x$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on E($G$) $\geqslant  0$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques}

\medskip

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère  orthonormal direct \Ouv.
\begin{enumerate}
\item  Soit $z$ un nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi }{3}$.

\textbf{Proposition 1} : \og $z^{100}$ est un nombre réel \fg.
\item  Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de 1 du plan telle que $\left| {\dfrac{z}{{1 - z}}} \right| = 1$.

\textbf{Proposition 2} : \og l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels \fg.
\item  Soit $r$ la rotation d'angle $ - \dfrac{\pi }{2}$
 et dont le centre K a pour affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}.$
 
\textbf{Proposition 3} : \og l'image du point O par la rotation $r$ a pour affixe 

$\left( {1 - \sqrt 3 } \right) + \text{i}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)$ \fg.
\item  On considère l'équation (E) suivante : $z^2  + 2\cos \left( {\dfrac{\pi }{5}} \right)z + 1 = 0$.

\textbf{Proposition 4} : \og l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à $1$ \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 
On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, représenté ci-dessous.

\textbf{Proposition 5} : \og le vecteur $\vect{\text{AG}}$
 est normal au plan (BDE) \fg.
 
\textbf{Proposition 6} : \og les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires \fg.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\psframe(3.8,3.8)
\psline(3.8,0)(5.8,1.9)(5.8,5.8)(1.9,5.8)(0,3.8)%BCDGHE
\psline(5.8,5.8)(3.8,3.8)%GF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.9,1.9)(1.9,5.8)
\psline[linestyle=dashed](1.9,1.9)(5.8,1.9)
\uput[l](0,0){A}\uput[r](3.8,0){B}\uput[r](5.8,1.9){C}\uput[ul](1.9,1.9){D}
\uput[l](0,3.8){E}\uput[r](3.8,3.8){F}\uput[ur](5.8,5.8){G}\uput[ul](1.9,5.8){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  choisi la spécialité mathématiques}

\medskip

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}, on considère la similitude directe $f$ d'écriture complexe \[z \mapsto \dfrac{3}{2}\left( {1 - \text{i}} \right)z + 4 - 2\text{i}.\]
\textbf{Proposition 1} :\: \og $f = r \circ h$
où $h$ est l'homothétie de rapport $3\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
et de centre le point $\Omega$ d'affixe $ - 2 - 2\text{i}$
et où $r$ est la rotation de centre $\Omega $
et d'angle $ - \dfrac{\pi }{4}$ \fg.
\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul : 

\textbf{Proposition 2} : \og$5^{6n + 1}  + 2^{3n + 1}$
 est divisible par $5$ \fg. 
 
\textbf{Proposition 3} : \og$5^{6n + 1}  + 2^{3n + 1}$
 est divisible par $7$ \fg.
\item  Dans le plan muni d'un repère, (D) est la droite d'équation $11x - 5y = 14$.

\textbf{Proposition\: 4} : \og les points de (D) à coordonnées entières sont les points de coordonnées $\left({5k + 14\;;\;11k + 28} \right)$
où $k \in \Z$.
\item  L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

\parbox{0.6\textwidth}{La surface $\Sigma $  ci-contre a pour équation 

$z = x^2  + y^2$.\vspace{2cm}} \hfill
\parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}\begin{pspicture}(-2,-1)(2,4)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3.5) \psline(0,0)(2,0)\psline(0,0)(-2,-1)\psline(0,3.5)(0,4)
\psline[linestyle=dashed]{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(1,0)\psline{->}(0,0)(-0.8,-0.4)
\psplot{-1.15}{1.15}{x 2 exp 2.7 mul}
\psellipse(0,3.5)(1.15,0.35)
\uput[d](0,0){O} \uput[u](-0.8,-0.4){$\vect{\imath}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{k}$}
\end{pspicture}}

\textbf{Proposition\: 5} :\: \og la section de la surface $\Sigma $
 et du plan d'équation $x = \lambda $, où $\lambda $
 est un réel, est une hyperbole \fg.
 
\textbf{Proposition\: 6} :\: \og le plan d'équation $z = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{2}$  partage le solide délimité par $\Sigma $
 et le plan d'équation $z = 9$ en deux solides de même volume \fg.

\medskip

\emph{Rappel : Soit $V$ le volume du solide délimité par $\Sigma $  et les plans d'équations $z = a$ et $z = b$ où $0 \leqslant  a \leqslant  b \leqslant  9$.\\
$V$ est donné par la formule $V = \displaystyle\int_{a}^{b} {S\left( k \right)\: \rm{d}k}$
 où $S(k)$ est l'aire de la section du solide par le plan d'équation $z=k$ où $k \in \left[{a~;~b} \right]$.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A. Démonstration de cours}

\medskip
 
Prérequis : définition d'une suite tendant vers plus l'infini.

\og  \emph{une suite tend vers $+ \infty $ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à\: A} \fg.
 
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers $ + \infty$.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[ {0\;;\;+ \infty }[$ par
 
 \[f\left( x \right) = \ln (x + 1) + \dfrac{1}{2}x^2.\]
 
La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[ {0~;~+ \infty }[$.
\item  Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$.
\item  Tracer la droite (T) sur le graphique.
Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle $]{0\;;\; + \infty }[$, la courbe $(\mathcal{C})$ est située au dessus de la droite (T).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $u_{0} = 1$, et pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).$

\begin{enumerate}
\item Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).
\item À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$  et son comportement lorsque $n$ tend vers $ + \infty $ ?
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel $n,{}u_n  \geqslant 1$.
		\item Montrer que la suite $\left({u_n } \right)$
 est croissante.
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$
 n'est pas majorée.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip
 
On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $]- \infty~;~+ \infty[$.

On donne le tableau de ses variations :
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) 
\psline(2,0)(2,3)\uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.3,2.5){$- \infty$}\uput[u](4,2.5){$0$}
\uput[u](6,2.5){$2$}\uput[u](7.65,2.5){$+ \infty$}\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3,2){$+$}\uput[u](5,2){$+$}\uput[u](6,2){$0$}\uput[u](7,2){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$}\rput(2.3,0.2){$- \infty$}\rput(4,1){$0$}\rput(6,1.75){$1 + \text{e}^{-2}$}\rput(7.85,0.2){$1$}
\psline{->}(2.6,0.2)(3.8,0.87) \psline{->}(4.2,1.05)(5.5,1.75)
\psline{->}(6.5,1.7)(7.7,0.25)
\end{pspicture}
\end{center}

Soit $g$ la fonction définie sur $\left]  - \infty \;;\; + \infty \right[$ par $g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\:\text{d}t$.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe $(\mathcal{C})$ susceptible de représenter $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Interpréter graphiquement $g(2)$.
		\item  Montrer que $0 \leqslant g(2) \leqslant 2,5$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $x$ un réel supérieur à 2.
		
Montrer que $\displaystyle\int_{2}^{x} {f(t)\:\text{d}t}  \geqslant x - 2$. En déduire que $g(x) \geqslant x - 2$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $ + \infty $.
\end{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $] - \infty\;;\;+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet que pour tout réel $t$,

\[f(t) = (t - 1)\text{e}^{- t}  + 1.\]

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, exprimer en fonction du réel $x$ l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{x} {\left( {t - 1} \right)\text{e}^{ - t}\:\text{d}t}.$
\item En déduire que pour tout réel $x$,\: $g\left( x \right) = x\left(1 - \text{e}^{- x}\right)$.
\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $ - \infty $.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\vspace{1cm}

\emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.}

\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textbf{Représentation graphique de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath obtenue à l'aide d'un tableur}

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(6.5,6.01)
\multido{\n=0.00+0.25}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0.00000+0.16666}{37}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,6)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.035}{x 1 add ln 0.5 x dup mul mul add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}