%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small BaccalaurŽéŽat S} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{mai 2003}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban mai 2003~\decofourright}}\end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun ˆà tous les candidats} \medskip Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. \smallskip Soit $n$ un entier naturel supérieur ou Žégal ˆà 2. On répète $n$ fois l'Žépreuve qui consiste ˆà tirer une boule puis ˆ la remettre dans l'urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants. On note $p_n$, la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des $n -1$ premiers tirages et une boule blanche lors du $n$-ième tirage. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilitŽés $p_2$, $p_3$ et $p_4$. \item On considère les Žévènements suivants : $B_n$ : \og On tire une boule blanche lors du $n$-ième tirage \fg, $U_n$ : \og On tire une boule blanche et une seule lors des $n - 1$ premiers tirages \fg. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilitŽé de l'Žévènement $B_n$. \item Exprimer la probabilitŽé de l'Žévènement $U_n$ en fonction de $n$. \item En dŽéduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$ et vŽérifier l'ŽégalitŽé : \[p_n = \dfrac{n-1}{4} \times \left( \dfrac{2}{3}\right)^n.\] \end{enumerate} \item On pose : $S_n = p_2 + p_3 + \cdots + p_n$. \begin{enumerate} \item DŽémontrer par rŽécurrence que pour tout entier naturel $n$ supŽérieur ou Žégal ˆà 2, on a : \[S_n = 1 - \left(\dfrac{n}{2} + 1\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n.\] \item DŽéterminer la limite de la suite $(S_n)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spŽécialitŽé} \medskip \begin{enumerate} \item RŽésoudre dans $\C$ l'Žéquation : \[ 4z^2 - 12z + 153 = 0.\] \item Dans le plan rapportŽé ˆà un repère orthonormŽé \Ouv, d'unitŽé graphique 1~cm on considère les points A, B, C, P d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + 6\text{i},\\z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - 6\text{i}~;~z_{\text{C}} = - 3 - \dfrac{1}{4}\text{i},~z_{\text{P}} = 3 + 2\text{i}$ et le vecteur $\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 1 + \dfrac{5}{2}\text{i}$. \begin{enumerate} \item DŽéterminer l'affixe $z_{\text{Q}}$ du point Q, image du point B dans la translation $t$ de vecteur $\vect{w}$. \item DŽéterminer l'affixe $z_{\text{R}}$ du point R, image du point P par l'homothŽétie $h$ de centre C et de rapport $- \dfrac{1}{3}$. \item DéŽterminer l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S, image du point P par la rotation $r$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$. Placer les points P{}, Q, R et S. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item DŽémontrer que le quadrilatère PQRS est un paralléŽlogramme. \item Calculer $\dfrac{z_{\text{R}} - z_{\text{Q}}}{z_{\text{P}} - z_{\text{Q}}}$. En dŽéduire la nature préŽcise du parallŽélogramme PQRS. \item Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent ˆà un même cercle, notéŽ $\mathcal{C}$. On calculera l'affixe de son centre $\Omega$ et son rayon $\rho$. \end{enumerate} \item La droite (AP) est-elle tangente au cercle $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spéŽcialitŽé} \medskip Les suites d'entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ sont dŽéfinies sur $\N$ par : \[ \begin{array}{l} x_0 = 3 \quad \text{et} \quad x_{n+1} = 2x_n - 1\\ y_0 = 1 \quad \text{et} \quad y_{n+1} = 2y_n + 3. \end{array}\] \begin{enumerate} \item DŽémontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~ x_n = 2^{n+1} + 1$. \item \begin{enumerate} \item Calculer le pgcd de $x_8$ et $x_9$, puis celui de $x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$. Que peut-on en dŽéduire pour $x_8$ et $x_9$ d'une part, pour $x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$ d'autre part ? \item $x_n$ et $x_{n+1}$ sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel $n$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item DŽémontrer que pour tout entier naturel $n,~ 2x_n - y_n = 5$. \item Exprimer $y_n$ en fonction de $n$. \item En utilisant les congruences modulo 5, Žétudier suivant les valeurs de l'entier naturel $p$ le reste de la division euclidienne de $2^p$ par 5. \item On note $d_n$ le pgcd de $x_n$ et $y_n$ pour tout entier naturel $n$. DŽémontrer que l'on a $d_n = 1$ ou $d_n = 5$ ; en dŽéduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $x_n$ et $y_n$ soient premiers entre eux. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A Ƀtude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath} \medskip La fonction $g$ est dŽéfinie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^x + 2x - 7$. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item ƒÉtudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations. \item Justifier que l'Žéquation $g(x) = 0$ admet dans $\R$ une solution unique $\alpha$ telle que : \[0,94 < \alpha < 0,941.\] \item ƒÉtudier le signe de $g$ sur $\R$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B ƒÉtude d'une fonction} \medskip La fonction $f$ est dŽéfinie sur $\R$ par \[f(x) = (2x - 5)\left(1 - \text{e}^{-x}\right).\] On note $\mathcal{C}$ la courbe repréŽsentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item ƒÉtudier le signe de $f$ sur $\R$. \item ƒÉtudier les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$. \item Calculer $f'(x)$, ou $f'$ dŽésigne la fonction dŽérivéŽe de $f$ et vŽérifier que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe. Dresser le tableau de variations de $f$. \item \begin{enumerate} \item DŽémontrer l'ŽégalitŽé : $f(\alpha) = \dfrac{(2\alpha - 5)^2}{2\alpha - 7}$. \item ƒÉtudier le sens de variations de la fonction $h : x \mapsto \dfrac{(2x - 5)^2}{2x - 7}$ sur l'intervalle $\left]- \infty~;~\dfrac{5}{2}\right[$. En dŽéduire, àˆ partir de l'encadrement de $\alpha$ obtenu dans la \textbf{partie A}, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $f(\alpha)$. \end{enumerate} \item DŽémontrer que la droite $\mathcal{D}$, d'Žéquation $y = 2x - 5$, est asymptote ˆà $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. PréŽciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport àˆ $\mathcal{D}$. \item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{} (unitéŽ graphique 2~cm). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Calcul d'aires} \medskip À l'aide d'une intŽégration par parties, calculer en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}$ de la portion de plan dŽélimitŽée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnŽées et la droite d'Žéquation $x = \dfrac{5}{2}$. \bigskip \textbf{Partie D - Ƀtude d'une suite de rapports de distances} \medskip Pour tout entier naturel $n$ supŽérieur ou Žégal ˆà 3, on considère les points $A_n,\: B_n$, et $C_n$ d'abscisse $n$, appartenant respectivement ˆà l'axe des abscisses, ˆ la droite $\mathcal{D}$ et ˆ la courbe $\mathcal{C}$ ; soit $u_n$ le rŽéel dŽéfini par : \[u_n = \dfrac{C_nB_n}{A_nB_n}.\] \begin{enumerate} \item DŽémontrer que pour tout entier naturel $n$ supéŽrieur ou Žégal ˆà 3, on a : \[u_n = \dfrac{2n-5 - f(n)}{2n - 5}.\] \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? \item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Pouvait-on prŽévoir ce rŽésultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}