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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
S Liban mai 2003~\decofourright}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.

\smallskip

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète $n$ fois
 l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis  la remettre dans l'urne ; on  suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants.

On note $p_n$, la probabilité de tirer exactement une boule blanche 
lors des $n -1$ premiers tirages et une boule blanche lors du $n$-ième 
tirage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités $p_2$, $p_3$ et $p_4$.
\item On considère les évènements suivants :

$B_n$ : \og On tire une boule blanche lors du $n$-ième tirage \fg,

$U_n$ : \og On tire une boule blanche et une seule lors des $n - 1$ premiers tirages \fg.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $B_n$.
		\item Exprimer la probabilité de l'évènement $U_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$ et vérifier l'égalité :

\[p_n = \dfrac{n-1}{4} \times \left( \dfrac{2}{3}\right)^n.\]

	\end{enumerate}
\item On pose : $S_n = p_2 + p_3 + \cdots + p_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on a :

\[S_n = 1 - \left(\dfrac{n}{2} + 1\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n.\]

		\item Déterminer la  limite  de la suite $(S_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation :

\[ 4z^2 - 12z + 153 = 0.\]

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé 
\Ouv, d'unité graphique 1~cm on considère les points A, B, C, P d'affixes 
respectives : $z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + 
6\text{i},\\z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - 6\text{i}~;~z_{\text{C}} = - 
3 - \dfrac{1}{4}\text{i},~z_{\text{P}} = 3 + 2\text{i}$ et le vecteur
$\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 1 + \dfrac{5}{2}\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{Q}}$ du point Q, image du point  B dans la translation $t$ de vecteur $\vect{w}$.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{R}}$ du point R, image du point  P par l'homothétie $h$ de centre C et de rapport $- \dfrac{1}{3}$.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S, image du point P par la rotation $r$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.

Placer les points P{}, Q, R et S.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que le quadrilatère PQRS est un 
parallélogramme.
		\item Calculer $\dfrac{z_{\text{R}} - 
z_{\text{Q}}}{z_{\text{P}} - z_{\text{Q}}}$.

En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.
		\item Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un 
même cercle, noté $\mathcal{C}$. On calculera l'affixe de son 
centre $\Omega$ et son rayon $\rho$.
	\end{enumerate}
\item La droite (AP) est-elle tangente au cercle $\mathcal{C}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les suites d'entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ sont définies sur $\N$ 
par :

\[ \begin{array}{l}
x_0 = 3 \quad \text{et} \quad x_{n+1} = 2x_n - 1\\
y_0 = 1 \quad \text{et} \quad y_{n+1} = 2y_n + 3.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 
$n,~ x_n = 2^{n+1} + 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pgcd de $x_8$ et $x_9$, puis celui de 
$x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$. Que peut-on en déduire pour $x_8$ et $x_9$ d'une part, pour
 $x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$ d'autre part ?

		\item $x_n$ et $x_{n+1}$ sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel $n$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 2x_n - 
y_n = 5$.
		\item Exprimer $y_n$ en fonction de $n$.
		\item En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $p$ le reste de la division euclidienne de $2^p$ par 5.
		\item On note $d_n$ le pgcd de $x_n$ et $y_n$ pour tout entier naturel $n$.

Démontrer que l'on a $d_n = 1$ ou $d_n = 5$ ; en déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $x_n$ et $y_n$ soient premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ 
\unboldmath}

\medskip

La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) =  2\text{e}^x + 2x - 7$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
\item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ admet dans $\R$ une solution
 unique $\alpha$ telle que :

\[0,94 < \alpha < 0,941.\]

\item Étudier le signe de $g$ sur $\R$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude d'une fonction}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par

\[f(x) = (2x - 5)\left(1 - \text{e}^{-x}\right).\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f$ sur $\R$.
\item Étudier les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ 
\infty$.
\item Calculer $f'(x)$, ou $f'$ désigne la fonction dérivée 
de  $f$ et vérifier que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.

Dresser le tableau de variations de $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer l'égalité : $f(\alpha) = 
\dfrac{(2\alpha - 5)^2}{2\alpha - 7}$.
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $h : x \mapsto \dfrac{(2x - 5)^2}{2x - 7}$ sur l'intervalle $\left]- \infty~;~\dfrac{5}{2}\right[$.

En déduire, à partir de l'encadrement de $\alpha$ obtenu dans la \textbf{partie A}, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $f(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$, d'équation $y = 2x - 5$,
 est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.

Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}$.

\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans
 le repère \Oij{} (unité graphique 2~cm).

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C  - Calcul d'aires}

\medskip

À l'aide d'une intégration par parties, calculer en cm$^2$ l'aire 
$\mathcal{A}$ de la portion de plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe
 des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =  \dfrac{5}{2}$.

\bigskip

\textbf{Partie D - Étude d'une suite de rapports de distances}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, on considère les 
points $A_n,\: B_n$, et $C_n$ d'abscisse $n$, appartenant respectivement à l'axe des abscisses,  la droite $\mathcal{D}$ et  la courbe $\mathcal{C}$ ; soit $u_n$ le réel défini par :

\[u_n = \dfrac{C_nB_n}{A_nB_n}.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, on a :

\[u_n = \dfrac{2n-5 - f(n)}{2n - 5}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Pouvait-on prévoir ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}