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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban mai 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on donne les points A(2~;~1~;~3), B$(-3~;~-1~;~7)$ et C(3~;~2~;~4).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
\item Soit (d) la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
x 	&= 	& - 7 + 2t\\
y	&=	& - 3t\\
z 	&= 	& 4 + \phantom{2}t\\
\end{array}\right.$

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).
		\item Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate}
\item Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que H est le barycentre de (A~;~$- 2$), (B~;~$- 1$) et (C~;~2).
		\item Déterminer la nature de l'ensemble $\Gamma_{1}$, des points $M$ de l'espace tels que

\[\left(-2 \vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} +2\vect{M\text{C}}\right) \cdot \left(\vect{M\text{B}}  - \vect{M\text{C}}\right) = 0\]

En préciser les éléments caractéristiques.
		\item Déterminer la nature de l'ensemble $\Gamma_{2}$, des points $M$ de l'espace tels que
		
\[\left\|-2 \vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} +2\vect{M\text{C}}\right\| = \sqrt{29}\] 

En préciser les éléments caractéristiques.
		\item Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l'intersection des
ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$.
		\item Le point  S $(- 8~ ;~ 1~ ;~ 3)$ appartient-il à l'intersection des ensembles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

On prendra 2~cm pour unité graphique.

Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point B$_{1}$ image de B par l'homothétie de centre A et de rapport $\sqrt{2}$.
		\item Déterminer l'affixe du point B$'$ image de B$_{1}$ par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.

Placer les points A, B et B$'$.
\end{enumerate}
\item On appelle $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[ z' = (1 + \text{i})z + 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que B a pour image B$'$ par $f$.
		\item Montrer que A est le seul point invariant par $f$.
		\item Établir que pour tout nombre complexe $z$ distinct de i,\:
$\dfrac{z' - z}{\text{i} - z} = - \text {i}$.

Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d'angles.

En déduire une méthode de construction de M$'$ À partir de $M$, pour $M$ distinct de A.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l'ensemble $\Sigma_{1}$  des
points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z - 2| = \sqrt{2}$.
		\item Démontrer que $z' - 3-2\text{i} =  (1 + \text{i})(z -2)$.
		
En déduire que si le point $M$ appartient À $\Sigma_{1}$, alors son image $M'$ par $f$ appartient À un cercle $\Sigma_{2}$, dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Tracer $\Sigma_{1}$ et $\Sigma_{2}$ sur la même figure que A, B et B$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A d'affixe 3i et B d'affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.
\item Montrer qu'il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, À tout point $M$ d'affixe $z$, associe le
point $M'$ d'affixe $z' = - 2\text{i}\overline{z} + 6$ où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$.

Montrer que $f$ possède un point invariant et un seul. On note K ce point.
\item Soit $h$ l'homothétie de centre K et de rapport $\dfrac{1}{2}$.

On pose $g = f \circ h$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $g$ est une isométrie laissant invariant le point K.
		\item On désigne par $M''$ l'image du point $M$ d'affixe $z$ par la transformation $g$.
		
Montrer que l'écriture complexe de $g$ est $z'' = - \text{i}\overline{z} + 2 + 2\text{i}$  où $z''$ est l'affixe de $M''$.
		\item Montrer qu'il existe sur l'axe $\left(\text{O},~\vect{v}\right)$ un unique point invariant par $g$ ; on le note L.
		
Reconnaître alors la transformation $g$.
		\item En déduire que la transformation $f$ est la composée d'une homothétie $h'$ suivie
de la réflexion d'axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de $h'$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les droites $\Delta$ telles que $f(\Delta)$ et $\Delta$ soient parallèles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =x \ln (x +1).\]

Sa courbe représentative $(\mathcal{C})$ dans un repère orthogonal \Ouv{} est donnée en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item L'axe des abscisses est-il tangent À la courbe $(\mathcal{C})$ au point O ?
	\end{enumerate}
\item On pose I $ = \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x^2}{x + 1}\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer trois réels $a,~b$ et $c$ tels que, pour tout $x \neq - 1,$

\[\dfrac{x^2}{x + 1} = ax + b + \dfrac{c}{x + 1}.\]

		\item Calculer I.
	\end{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d'aires, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $x =0,~ x = 1$ et $y = 0$.
\item Montrer que l'équation $f(x) =0,25$ admet une seule solution sur l'intervalle [0~;~1]. On
note $\alpha$ cette solution. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude d'une suite}

\medskip

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie sur $\N$ par $u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n \ln (x + 1)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ converge-t-elle ?
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{\ln 2}{n + 1}$.

En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

La durée de vie d'un robot, exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda > 0$.

Ainsi, la probabilité qu'un robot tombe en panne avant l'instant $t$ est égale à

\[p( X \leqslant t) =\displaystyle\int_{0}^t  \lambda \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer $\lambda$, arrondi à $10^{-1}$ près, pour que la probabilité $p(X > 6)$ soit égale à 0,3.

\textbf{Pour la suite de l'exercice, on prendra} \boldmath $\lambda = 0,2$ \unboldmath.
\item À quel instant $t$, à un mois prés, la probabilité qu'un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de $0,5$ ?
\item Montrer que la probabilité qu'un robot n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e$^{-0,4}$.
\item Sachant qu'un robot n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ?
\item On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante.

Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe} \end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \textbf{obtenue à l'aide d'un tableur} 

\bigskip

\textbf{Courbe}  \boldmath $(\mathcal{C})$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=3.5cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(3.2,5.2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(3,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(3.2,5.2)
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\end{pspicture}
\end{center}
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