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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{31 mai 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Liban 31 mai 2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on donne les trois points :
 
\[\text{A}(1~;~2~;~-1), \text{B}(-3~;~-2~;~3)\: \text{et C}(0~;~-2~;~-3)\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~-1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $(P)$ le plan dont une équation cartésienne est $x + y - z + 2 = 0$.
 
Démontrer que les plans (ABC) et $(P)$ sont perpendiculaires. 
\item On appelle G le barycentre des points pondérés (A,\, 1), (B,\, $-1$) et (C,\, 2). 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point G a pour coordonnées $(2~;~0~;~-5)$. 
		\item Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan $(P)$. 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG). 
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan $(P)$ avec la droite (CG).
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace tels que

 $\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 12$ est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'intersection du plan $(P)$ et de la sphère $(S)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 
\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.}

\medskip
 
\emph{Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
\emph{Il sera attribué $0,5$ point si la réponse est exacte, $0$ sinon.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d'ordinateur au même prix et de marques M$_{1}$ et M$_{2}$. Les deux ordinateurs ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc.

D'après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70\,\% des acheteurs ont choisi l'ordinateur M$_{1}$ et, parmi eux, 60\,\% ont préféré la couleur noire. Par ailleurs, 20\,\% des clients ayant acheté un ordinateur M$_{2}$ l'ont choisi de couleur blanche. 

On utilise la liste des clients ayant acheté l'un ou l'autre des ordinateurs précédemment cités et on choisit un client au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M$_{2}$ de couleur noire est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}}		 
\textbf{A :~~} $\dfrac{3}{5}$ &	\textbf{B :~~} $\dfrac{4}{5}$&	 \textbf{C :~~} $\dfrac{3}{50}$ &	\textbf{D :~~} $\dfrac{6}{25}$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip

		\item La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est :
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A :~~} $\dfrac{21}{50}$ &	\textbf{B :~~} $\dfrac{33}{50}$&	 \textbf{C :~~} $\dfrac{3}{5}$ &	\textbf{D :} $\dfrac{12}{25}$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip 
		\item  Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu'il soit de marque M$_{2}$ est : 
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A :~~} $\dfrac{4}{11}$ &	\textbf{B :~~} $\dfrac{6}{25}$&	 \textbf{C :~~} $\dfrac{7}{11}$ &	\textbf{D :} $\dfrac{33}{50}$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip 
		\end{enumerate}		
\item Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues.
 
Les boules sont indiscernables au toucher.
 
L'expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l'urne. 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité d'obtenir trois boules de même couleur est : 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A :~~} $\dfrac{11}{81}$ &	\textbf{B :~~} $\dfrac{2}{7}$&	 \textbf{C :~~} $\dfrac{5}{84}$ &	\textbf{D :} $\dfrac{4}{63}$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip 

		\item La probabilité d'obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A :~~} $\dfrac{2}{7}$ &	\textbf{B :~~} $\dfrac{1}{7}$&	 \textbf{C :~~} $\dfrac{1}{21}$ &	\textbf{D :} $\dfrac{79}{84}$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip  

		\item On répète plusieurs fois l'expérience, de manière indépendante, en remettant à chaque fois les trois boules dans l'urne.
		 
Le nombre minimal d'expériences à réaliser pour que la probabilité de l'évènement \og obtenir au moins une fois trois boules jaunes \fg{} soit supérieure ou égale à 0,99 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A :~~} $76$ &	\textbf{B :~~} $71$&	 \textbf{C :~~} $95$ &	\textbf{D :~~} $94$ \\ 
\end{tabularx}
\medskip  
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire}

\begin{center}
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}
\end{center}
 
\textbf{Prérequis :} On suppose connu le résultat suivant :

\medskip
 
Quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z',\: \text{arg}\left(z \times z'\right) = \text{arg} (z) + \text{arg} \left(z'\right)$ à $2\pi$ près.
 
Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z'$, on a : $\text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}\left(z'\right)$ à $2\pi$ près.

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center} 
 
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives :
 
\[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{B}} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique.  
		\item Montrer que  $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item En déduire la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$.
	\end{enumerate} 
\item On note B$_{1}$ l'image du point B par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{6}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point B$_{1}$. 
		\item En déduire que le point B$_{1}$ est le symétrique du point B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $M$ un point du plan. On note $M_{1}$ l'image du point $M$ par la rotation $r$ et $M'$ le symétrique du point $M_{1}$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
 
On désigne par (E) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M' = M$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points O et B appartiennent à l'ensemble (E). 
		\item Soit $M$ un point distinct du point O.
		 
Son affixe $z$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\rho$ est un réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel.
 
Montrer que l'affixe $z'$ du point $M'$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right)}$ puis déterminer l'ensemble des valeurs du réel $\theta$ telles que $M$ appartienne à l'ensemble (E). 
		\item Déterminer l'ensemble (E).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
 
\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}\end{center}

\medskip
 
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct.
 
\textbf{Prérequis :} L'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme $z'= az + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $a \neq 0$.

\medskip
 
Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points du plan tels que A $~\neq~$ B et A$' ~\neq~$B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$.

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

\medskip
 
On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que $\left(\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2} \:\text{modulo}\: 2\pi$.

On note D le symétrique de A par rapport au point C.
 
On désigne par $s$ la similitude directe transformant D en C et C en B.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $s$. 
\item On appelle $\Omega$ le centre de la similitude $s$. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la relation $\vect{\text{DC}} = \vect{\Omega\text{C}} - \vect{\Omega\text{D}}$, démontrer que $\text{DC}^2 = \Omega\text{D}^2$. 
		\item En déduire la nature du triangle $\Omega$DC.
	\end{enumerate} 
\item On pose $\sigma = s \circ s$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. 
		\item Déterminer l'image du point D par la transformation $\sigma$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que le quadrilatère AD$\Omega$B est un rectangle. 
\item Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{u},\,\vect{v}\right)$, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0,\, 1,\ i et 2i. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'écriture complexe de la similitude $s$ est :
		
$z' = (1 + \text{i}) z + 2 - \text{i}$ 
où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un point $M$ et de son image $M'$ par $s$. 
		\item On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$.
		 
 Démontrer que  $\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&x- y + 2\\
y'&=&x + y - 1 
\end{array}\right.$
		\item Soit J le point d'affixe $1 + 3\text{i}$.
		 
Existe-t-il des points $M$ du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que
 
$\vect{\text{A}M'} \cdot \:\vect{\text{AJ}\phantom{'}} = 0$, $M'$ désignant l'image du point $M$ par $s$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x + \text{e}^{-x}.\]
 
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
\item Montrer que $(\mathcal{C})$ admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$  à termes positifs définie par : 

\[u_{1} = 0\: \:\text{et, pour tout entier naturel}\: n\: \text{non nul}, u_{n+1} = f\left(u_{n}\right) = u_{n} + \text{e}^{-u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif, $\ln (1 + x ) \leqslant x$.
 
On pourra étudier la fonction $g$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par $g(x) = x - \ln (1 + x)$. 
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n + 1) \leqslant  \ln(n) + \dfrac{1}{n}$. 
\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $f[\ln(n)] = \ln (n) + \dfrac{1}{n}$. 
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 

$\ln (n) \leqslant u_{n}$. 
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$· 
\medskip

Dans la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$,

$u_{n} \leqslant 1+ \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n - 1}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 2, on a : 
		$\dfrac{1}{k} \leqslant \displaystyle\int_{k - 1}^k \dfrac{1}{x}\:\text{d}x$.
		\item En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : 
		
$u_{n} \leqslant  1 + \ln (n - 1)$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a montré que 
$\ln (n) \leqslant u_{n} \leqslant 1 + \ln (n - 1)$.
 
Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{\ln (n)}\right)_{n \geqslant 2}$ converge vers 1.
\end{enumerate}
\end{document}