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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small juin 2004}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le personnel d'un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique).

$12\,\%$ des personnels sont des médecins et $71\,\%$ sont des soignants.

$67\,\%$ des médecins sont des hommes et $92\,\%$ des soignants sont des femmes.

\medskip

\textbf{On donnera une valeur approchée de tous les résultats 
à} \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath \textbf{près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'interroger une femme soignante ?
		\item Quelle est la probabilité d'interroger une femme médecin ?
		\item On sait que $80\,\%$ du personnel est féminin. Calculer la probabilité d'interroger une femme AT.

En déduire la probabilité d'interroger une femme sachant que la  personne interrogée fait partie du personnel AT.
	\end{enumerate}
\item Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0~;~1].

On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15~min et 20~min ?
\item Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à $40$ personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard $40$ noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu'il s'agit de $40$ tirages successifs indépendants avec remise).

Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation

\[(z - 2\text{i})\left(z^2 - 2z +  2\right) = 0.\]

Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle (justifier les réponses).
\item Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + 
\text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}.$

À tout complexe $z$ différent de ${\text{A}}$ on associe le complexe

\[z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1 - \text{i}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Soit ($E$) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit imaginaire pur.

Montrer que B $\in (E)$.

Déterminer et construire l'ensemble ($E$).
		\item Soit ($F$) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que 
$\left|z'\right| = 1$.

Déterminer et construire ($F$).
	\end{enumerate}
\item Soit $R$ la rotation de centre 
$\Omega\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$ et d'angle 
$\dfrac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe du point $B'$, image de B par $R$ et l'affixe du point $I'$, image par $R$ du point I$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$.
		\item Quelles sont les images de ($E$) et ($F$) par $R$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 1~cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 2 + \text{i},\quad z_{\text{B}}
= 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{C}}  = 6+3\text{i},\quad z_{\text{D}}  = - 1 + 6\text{i}.\]

\begin{enumerate}
\item Représenter les points A, B, C et D.
\item Montrer qu'il existe une similitude directe $f$ telle que $f$(A) = B et $f$(C) = D.

Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments caractéristiques.
\item Soit J le point d'affixe $3+5\text{i}$.

Montrer que la rotation $R$ de centre J et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ transforme A en D et C en B.
\item On appelle I le point d'affixe $1+\text{i}$,~M et N les milieux respectifs 
de segments [AC] et [BD].

Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN.
\item On considère les points $P$ et $Q$ tels que les quadrilatères IA$P$B et IC$Q$D sont des carrés directs.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les affixes $z_P$ et $z_Q$ des points $P$ et $Q$.
		\item Déterminer $\dfrac{\text{I}P}{\text{IA}}$ et $\dfrac{\text{I}Q}{\text{IC}}$ ainsi qu'une mesure des angles $\left(\vect{\text{IA}},~\vect{\text{I}P} \right)$ et $\left(\vect{\text{IC}},~\vect{\text{I}Q}\right)$.

En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe
 $g$ telle que 

$g$(A) = $P$ et $g$(C) = $Q$.
		\item En déduire que J est l'image de $M$ par $g$. Que peut-on en déduire pour J ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un nombre réel positif ou nul et $k$ un entier strictement supérieur à $x$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $k$,

\[\dfrac{k^n}{ n!} \leqslant \dfrac{k^k}{k!}.\]

		\item En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à  $k$,

\[\dfrac{x^n}{ n!} \leqslant \left(\dfrac{x}{k} \right)^n \times \dfrac{k^k}{k!}.\]

		\item Montrer que

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{x^n}{ n!} = 0.\]

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2,
\[\dfrac{n^{n-1}}{n!} \geqslant 1.\]

(on pourra écrire $\dfrac{n^{n-1}}{n!}$ comme un produit de $n- 1$ facteurs supérieurs ou égaux à~1).
		\item En déduire que

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n^n}{n!} = + \infty.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x + \ln 4 + \dfrac{2}{\text{e}^x + 1},\]

et ($\mathcal{C}$) sa représentation graphique dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$, et sa limite en $- \infty$.
\item Calculer, pour tout réel $x,~ f(x) + f(-x)$.

Que peut-on en déduire pour le point A$(0~;~1 + \ln 4)$ ?
\item étudier le sens de variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout réel $m$, l'équation $f (x) = m$ admet une solution unique dans $\R$.
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de la solution $a$ de l'équation $f(x) = 3$.

Justifier la réponse.
		\item Pour quelle valeur de $m$ le nombre $- a$ est-il la solution de l'équation $f(x) = m$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = x + 2 + \ln 4 - 
\dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$.
		\item Montrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y = x + \ln 4$ et la droite ($\Delta'$) d'équation $y = x + 2 + \ln 4$
sont des asymptotes de la courbe ($\mathcal{C}$).

étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à son 
asymptote ($\Delta$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On considère un réel positif $\alpha$.

Que représente l'intégrale :

\[I(\alpha) = \displaystyle\int_0^{\alpha} \left[f(x) -  x  - \ln 
4\right]\: \text{d}x ?\]
		\item Montrer que $I(\alpha) = 2 \ln \left(\dfrac{2\text{e}^{\alpha}}
{\text{e}^{\alpha} + 1} \right)$. (On pourra utiliser le résultat de la 
question \textbf{5.~a.})
		\item Calculer $\alpha$ pour que $I(\alpha) =  1$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}