%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {S Liban}, pdftitle = {juin 2005}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \rfoot{\small 6 juin 2005} \lfoot{\small{Liban}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{Baccalauréat S Liban juin 2005}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. \textbf{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention \og vrai \fg{} ou \og faux \fg.} \emph{Une réponse correcte rapporte $0,5$ point, une réponse incorrecte enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.} \emph{Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.} \medskip \begin{enumerate} \item \og Si $a$ est un nombre réel quelconque et $f$ une fonction définie et strictement décroissante sur $[a~;~+ \infty[$, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. \fg \item Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[,~ g$ ne s'annulant pas : \og Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$ et si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = - 1$ \fg. \item \og Si $f$ est une fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ telle que $ 0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt{x}$ sur $[0~;~+ \infty[$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ \fg. \item On considère un repère \Oij{} du plan. \og Si $f$ est une fonction définie sur $\R^*$ alors la droite d'équation $x = 0$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij{} \fg. \item \og La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 + 3x + 1\right)\text{e}^x$ est une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y' - y = (2x + 3)\text{e}^x$ \fg. \item Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 3 et $- 2$. \og Si G est le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 3,$- 2$ et $1$ alors G est le milieu du segment [CI] \fg. \item Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients $3,~-2$ et $1$. \og L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|3\vect{M\text{A}} - 2\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\| = 1$ est le cercle de centre G et de rayon 1 \fg. \item Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par $M$ un point quelconque du plan. \og Le produit scalaire $\vect{M\text{A}} \cdot \vect{M\text{B}}$ est nul si et seulement si $M$ = A ou $M$ = B \fg. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \medskip Un fabricant d'écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication. Si le test est positif (c'est-à-dire si l'écran fonctionne correctement), l'écran est acheminé chez le client. Sinon l'écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l'écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit. Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour $70\,\%$ des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement $65\,\%$ d'entre eux passent le second test avec succès. On note $T_{1}$ l'évènement : \og le premier test est positif \fg. On note $C$ l'évènement : \og l'écran est acheminé chez le client \fg. \begin{enumerate} \item On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des évènements $T_{1}$, et $C$. \item La fabrication d'un écran revient à \np{1000}~\euro{} au fabricant si l'écran n'est testé qu'une fois. Cela lui coûte 50~\euro{} de plus si l'écran doit être testé une seconde fois. Un écran est facturé $a$ euros ($a$ étant un réel positif) au client. On introduit la variable aléatoire $X$ qui, à chaque écran fabriqué, associe le \og gain \fg (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$ en fonction de $a$. \item Exprimer l'espérance de $X$ en fonction de $a$. \item À partir de quelle valeur de $a$, l'entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - t)^n \text{e}^t\: \text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f~:~t \longmapsto (2 - t)\text{e}^t$ est une primitive de $g~:~t \longmapsto (1 - t)\text{e}^t$ sur $[0~;~1]$. En déduire la valeur de $u_{1}$. \item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout $n$ non nul, \[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\quad \text{(R)}\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On regarde d'abord ce qu'affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus. Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices : \begin{center} \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline Valeur & Valeur de $u_{n}$ affichée par & Valeur de $u_{n}$ affichée par\\ de $n$ & la première calculatrice & le deuxième calculatrice\\ \hline 1&\np{7,1828182845}E$-$01&\np{7,1828182846}E$-$01 \\ \hline 2&\np{4,3656365691}E$-$01 &\np{4,3656365692}E$-$01\\ \hline 3&\np{3,0969097075}E$-$01 &\np{3,0969097076}E$-$01\\ \hline 4&\np{2,3876388301}E$-$01 &\np{2,3876388304}E$-$01\\ \hline 5&\np{1,9381941508}E$-$01 &\np{1,9381941520}E$-$01\\ \hline 6&\np{1,6291649051}E$-$01 &\np{1,6291649120}E$-$01\\ \hline 7&\np{1,40415433581}E$-$01 &\np{1,4041543840}E$-$01\\ \hline 8&\np{1,2332346869}E$-$01 &\np{1,2332350720}E$-$01\\ \hline 9&\np{1,0991121828}E$-$01 &\np{1,0991156480}E$-$01\\ \hline 10&\np{9,9112182825}E$-$02 &\np{9,9115648000}E$-$01\\ \hline 11&\np{9,0234011080}E$-$02 &\np{9,0272128000}E$-$02\\ \hline 12&\np{8,2808132963}E$-$02 &\np{8,3265536000}E$-$02\\ \hline 13&\np{7,6505728522}E$-$02 &\np{8,2451968000}E$-$02\\ \hline 14&\np{7,1080199309}E$-$02 &\np{1,5432755200}E$-$01\\ \hline 15&\np{6,6202989636}E$-$02 &\np{1,31491328006}E+00\\ \hline 16&\np{5,9247834186}E$-$02 &\np{2,0038612480}E+01\\ \hline 17&\np{7,2131811612}E$-$03 &\np{3,3965641216}E+02\\ \hline 18&$-$\np{8,7016273909}E$-$01 &\np{6,1128154189}E+03\\ \hline 19&$-$\np{1,7533092042}E$+$01 &\np{1,1614249296}E+05\\ \hline 20&$-$\np{3,5166184085}E$+$02 &\np{2,3228488592}E+06\\ \hline 21&$-$\np{7,3858986580}E$+$03 &\np{4,8779825043}E+07\\ \hline 22&$-$\np{1,6249077047}E$+$05 &\np{1,0731561499}E+09\\ \hline 23&$-$\np{3,7372887209}E$+$06 &\np{2,4682591448}E+10\\ \hline 24&$-$\np{8,9694930302}E$+$07 &\np{5,923821947}E+11\\ \hline 25&$-$\np{2,242372585}E$+$09 &\np{1,4809554869}E+13\\ \hline \end{tabular} \end{center} Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice ? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice ? \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette partie on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ à partir de la définition : \[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - t)^n \text{e}^t\: \text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \geqslant 0$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel non nul $n$ \[ (1 - t) ^n \text{e}^t \leqslant \text{e} \times (1 - t)^n.\] \item En déduire que pour tout $n$ non nul, $u_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n + 1}$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie D} \medskip Dans cette partie, on se propose d'exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite $\left(u_{n}\right)$. \[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\] Étant donné un réel $a$, on considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par : \[v_{1} = a\quad \text{et pour tout entier naturel non nul}~n,~v_{n+1} = (n + 1)v_{n} - 1.\] \begin{enumerate} \item En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~v_{n} = u_{n} + (n !)(a + 2 - \text{e})$ où $n !$ désigne le produit des $n$ premiers entiers naturels non nuls. \item Étudier le comportement de la suite $\left(v_{n}\right)$ à l'infini suivant les valeurs de $a$. (On rappelle que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n ! = + \infty$.) \item En déduire une raison susceptible d'expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Unité graphique : 0,5~cm. On note j le nombre complexe $\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$. On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 8,~b = 6\text{j}$ et $c = 8\text{j}^2$. Soit $A'$ l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $B'$ l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $C'$ l'image de A par la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A, B, C, $A',~B'$ et$C'$ dans le repère donné. \item On appelle $a', b'$ et $c'$ les affixes respectives des points $A', B'$ et $C'$. \begin{enumerate} \item Calculer $a'$. On vérifiera que $a'$ est un nombre réel. \item Montrer que $b' = 16\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$. En déduire que O est un point de la droite B$B'$. \item On admet que $c' = 7 + 7\text{i}\sqrt{3}$. Montrer que les droites (A$A'$), (B$B'$) et (C$C'$) sont concourantes en O. \end{enumerate} \item On se propose désormais de montrer que la distance $M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ est minimale lorsque $M$ = O. \begin{enumerate} \item Calculer la distance OA + OB + OC. \item Montrer que $\text{j}^3 = 1$ et que$1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. \item On considère un point $M$ quelconque d'affixe $z$ du plan complexe. On rappelle que $a = 8,~b = 6\text{j}$ et $c = 8\text{j}^2$. Déduire des questions précédentes les égalités suivantes : \[ \left|(a - z) + (b - z)\text{j}^2 + (c - z)\text{j}\right| = \left|a + b\text{j}^2 + c\text{j}\right| = 22. \] \item On admet que, quels que soient les nombres complexes $z,~z'$ et $z''$ : \[\left|z + z' + z''\right| \leqslant |z| + \left|z'\right| + \left|z''\right|. \] Montrer que $M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}$ est minimale lorsque $M$ = O. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : \[109x - 226y = 1\] où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l'équation (E) ? \item Montrer que l'ensemble de solutions de (E) est l'ensemble des couples de la forme $(141 + 226k,~ 68 + 109k)$, où $k$ appartient à $\Z$. En déduire qu'il existe un unique entier naturel non nul $d$ inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul $e$ tels que $109d = 1 + 226e$. (On précisera les valeurs des entiers $d$ et $e$.) \end{enumerate} \item Démontrer que 227 est un nombre premier. \item On note A l'ensemble des 227 entiers naturels $a$ tels que $a \leqslant 226$. On considère les deux fonctions $f$ et $g$ de A dans A définies de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item à tout entier de A, $f$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{109}$ par 227. \item à tout entier de A, $g$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{141}$ par 227. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Vérifier que $g[f(0)] = 0$. \textsl{On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :} \textbf{Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$ alors $a^{p - 1} \equiv 1 \quad \text{modulo}~ p$.} \item Montrer que, quel que soit l'entier non nul $a$ de A, $a^{226} \equiv 1\quad [\text{modulo}~ 227]$. \item En utilisant \textbf{1. b.}, en déduire que, quel que soit l'entier non nul $a$ de A. $g[f(a)] = a$. Que peut-on dire de $f[(g(a)] = a$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}