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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Antilles-Guyane septembre 2006},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban mai 2012~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}
\begin{center}
\textbf{Commun à tous les candidats.}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:

\[g(x) = 2x^3 - 1 + 2\ln x\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$. Donner une valeur approchée de $\alpha$, arrondie au centième.
\item En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:

\[f(x) = 2x - \frac{\ln x}{x^2}\]

On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Démontrer que la courbe $\mathcal C$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$.

Étudier la position relative de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $\Delta$.
\item Justifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe $\mathcal C$ dans le repère \Oij. On prendra comme unités: 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que cette aire, exprimée en cm$^2$, est donnée par:
\[
I_n = 2\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x.
\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ à l'aide d'une intégration par parties.
		\item En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la limite de l'aire $I_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2\hfill 4 points}

\begin{center}
\textbf{Commun à tous les candidats.}
\end{center}

\emph{Les quatre questions sont indépendantes.}

\emph{Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d'indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ de représentations paramétriques respectives:
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x &= & 4 + \phantom{2}t\\
y &= & 6 + 2t\\
z &= & 4 - \phantom{2}t
\end{array}\right.,\quad t\in \R,\quad \text{et}\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl}
x &= & 8 + 5t'\\
y &= & 2 - 2t'\\
z &= & 6 + \phantom{2}t'
\end{array}\right.,\quad t' \in \R.
\]
\textbf{Affirmation: les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires.}

\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points $A(12~;~7~;~-13)$ et $B(3~;~1~;~2)$ ainsi que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x + 2y - 5z = 1$.

\textbf{Affirmation: le point $B$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.}
\item On considère les suites $u$ et $v$ définies, pour tout entier naturel $n$, par:

\[u_n=\frac{n+1}{n+2}\quad\text{et}\quad v_n=2 + \frac{1}{n+2}\]

\textbf{Affirmation: ces deux suites sont adjacentes.}
\item On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0 = 1$ et la relation de récurrence :

\[u_{n+1} = \frac{1}{3}u_{n+2},\ \text{pour tout entier naturel}\ n.\]

\textbf{Affirmation : cette suite est majorée par 3.}
\end{enumerate}
\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\begin{center}
\textbf{Commun à tous les candidats.}
\end{center}

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.

L'une $U_1$ contient 4 jetons numérotés de 1 à 4.

L'urne $U_2$ contient 4 boules blanches et 6 boules noires.

Un jeu consiste à tirer un jeton de l'urne $U_1$, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l'urne $U_2$ le nombre de boules indiqué par le jeton.

On considère les évènements suivants:
\begin{description}
\item[$J_1$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 1\fg
\item[$J_2$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 2\fg
\item[$J_3$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 3\fg
\item[$J_4$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 4\fg
\item[$B$] \og toutes les boules tirées de l'urne $U_2$ sont blanches\fg
\end{description}

\emph{On donnera tous les résultats sous la forme d'une fraction irréductible sauf dans la question} \textbf{4.b)} \emph{où une valeur arrondie à $10^{-2}$ suffit.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P_{J_1}(B)$, probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $J_1$ est réalisé.

Calculer de même la probabilité $P_{J_2}(B)$.

On admet dans la suite les résultats suivants :

\[P_{J_3}(B) = \frac{1}{30}\quad\text{et}\quad P_{J_4}(B)=\frac{1}{210}.\]

\medskip

\item Montrer que $P(B)$, probabilité de l'évènement $B$, vaut $\dfrac{1}{7}$. On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
\item On dit à un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?
\item On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note $N$ la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $N$?
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $(N=3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4\hfill 5 points}
\begin{center}
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}
\end{center}

\emph{On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct }\Ouv.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Un triangle}
	\begin{enumerate}
		\item On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2$, $b = 3+\text{i}\sqrt{3}$ et $c = 2\text{i}\sqrt{3}$.

Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
		\item En déduire que l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est $1+\text{i}\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Une transformation du plan}

On note $\left(z_n\right)$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_O = 0$, et telle que:

\[z_{n+1} = \frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}z_n+2,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.\]

Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points $A_2$, $A_3$ et $A_4$ ont pour affixes respectives:

\[3+\text{i}\sqrt{3},\quad 2+2\text{i}\sqrt{3}\quad\text{et}\quad 2\text{i}\sqrt{3}\]

On remarquera que : $A_1 = 1$, $A_2 = B$ et $A_4 = C$.
		\item Comparer les longueurs des segments $[A_1A_2]$, $[A_2A_3]$ et $[A_3A_4]$.
		\item Établir que pour tout entier naturel $n$, on a:

\[z_{n+1}-\omega = \frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega),\]

où $\omega$ désigne le nombre complexe défini à la question \textbf{1. b}.
		\item En déduire que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une transformation dont on précisera les éléments caractéristiques.
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A_{n+6} = A_n$. Déterminer l'affixe du point $A_{2012}$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer, pour tout entier naturel $n$, la longueur du segment $[A_nA_{n+1}]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4\hfill 5 points}

\begin{center}
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.}
\end{center}

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

On note $z_n$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_0=0$, et telle que :

\[z_{n+1} = \frac{1 + \text{i}}{2}z_n+1,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.\]

Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les affixes des points $A_1$, $A_2$ et $A_3$. Placer ces points dans le plan muni du repère \Ouv.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une similitude directe $s$, dont on définira le rapport, l'angle et le centre $\Omega$, d'affixe $\omega$.
		\item Démontrer que le triangle $\Omega A_nA_{n+1}$ est isocèle rectangle.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\Omega A_n={\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$.
		\item À partir de quelle valeur de $n$ les points $A_n$ sont-ils situés à l'intérieur du disque de centre $\Omega$ et de rayon $0,001$?
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la longueur $A_nA_{n+1}$ et $L_n$ la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k$.

$L_n$ est ainsi la longueur de la ligne polygonale $A_0A_1\ldots A_nA_{n+1}$.

Déterminer la limite de $L_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points $A_n$, $\Omega$ et $A_{n+4}$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}