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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~:~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~:~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STT A. C. C. -- A. C. A.}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT  Métropole~\decofourright\\[6pt]A. C. C. -- A. C. A. juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice \hfill 8 points}

\medskip

Pour différentes parcelles de blé ayant chacune une superficie de \np{10000}~m$^2$,
le tableau suivant indique la recette $y_i$ (en francs) selon la quantité d'engrais
épandue $x_i$ (en litres).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Quantité d'engrais $x_i$ en litres&50 &100 &150 &200 &250 &300 &350 &400\\ \hline
Recette $y_i$ en francs&\np{2400} &\np{3450} &\np{3750} &\np{4350} &\np{5550} &\np{5700} &\np{6600} &\np{7055}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à la série statistique dans un repère \Oij.

Unités graphiques :

2~cm pour représenter $100$~litres en abscisse

1~cm pour représenter $500$~francs en ordonnée.
		\item On note G le point moyen de ce nuage.
		
Déterminer les coordonnées de G et placer ce point sur le graphique.
		\item L'allure du nuage justifie-t-elle l'ajustement du nuage par une droite ?
	\end{enumerate}
\item Construire la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 13,2x + \np{1890}$.

On admet que la droite $\mathcal{D}$ est une droite d'ajustement du nuage de points.
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, donner une estimation en francs de la recette d'une
parcelle de blé de \np{10000}~m$^2$ sur laquelle on a mis $450$ litres d'engrais.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par :

\[f(x) = - 2x^3 + 60x^2 + \np{2000}.\]

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à [0~;~30].
\item Vérifier que $f'(x) = 6x(20 - x)$ pour $x$ appartenant à [0~;~30], puis étudier
le signe de $f'$.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~30].
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 0 & 2 & 5 &10 &15 & 20 & 25 & 30\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ dans un repère orthogonal d'unités
graphiques :

en abscisses : 1 cm pour 2 unités

en ordonnées : 1 cm pour \np{1000} unités.
\item  Tracer dans le même repère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 150x + \np{4500}$.
\item  Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de la
courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le club de théâtre du Lycée Louis XIV a loué une grande salle de spectacle et
organise une représentation de \og Ubu Roi \fg{} d'Alfred Jarry.

Le prix de location de la salle est \np{4500}~F.

Il espère avoir un maximum de spectateurs parmi la population des environs,
aussi il décide de faire passer des messages publicitaires sur la radio locale.

Soit $x$ le nombre de jours de publicité. Pour $x$ compris entre 0 et 20, la recette
prévue est donnée par $f(x)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

Chaque jour de publicité est facturé $150$~F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On fait un calcul sur 20 jours de publicité.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la recette prévisible ? 
		\item Calculer les frais engagés : publicité et location.
		\item Calculer le bénéfice dans le cas où la recette est conforme à la prévision.
	\end{enumerate}
\item Quel est le bénéfice si on prévoit 5 jours de publicité ?
\item Établir la formule donnant, en fonction du nombre $x$ de jours de publicité, le
montant total des frais engagés $C(x)$.
\item Combien de jours de publicité au minimum faut-il envisager pour que le
bénéfice prévisible soit positif ou nul ?
\end{enumerate}
\end{document}